Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem uma altura interna de 6 cm , um raio interno de 2 cm e uma espessura de
. Se o custo do metal a ser usado ć de RS 10,00 por centímetro cúbico, ache por diferenciais o custo aproximado do metal que scrá empregado na produção do recipiente.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o custo do metal usado para fazer um recipiente cilíndrico fechado. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, especificamente diferenciais, para aproximar esse custo. Pra resolver, vamos precisar das medidas do recipiente (altura, raio interno e espessura da parede) e da fórmula do volume do cilindro:
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume de metal usado no recipiente é a diferença entre o volume do cilindro externo (com raio maior devido à espessura) e o volume do cilindro interno. Então, precisamos calcular o raio externo.
O raio interno é
e a espessura da parede é
. Assim, o raio externo fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular os volumes dos cilindros interno e externo usando a fórmula
, onde
.
Volume interno:
Volume externo:
Passo 4
O volume de metal usado é a diferença entre o volume externo e o interno:
Passo 5
Agora, vamos calcular o custo do metal. Sabemos que o custo é de R$10,00 por centímetro cúbico. Então, multiplicamos o volume de metal pelo custo unitário:
Resposta
O custo aproximado do metal empregado na produção do recipiente é de aproximadamente
(considerando
).
Exercícios relacionados
Determine o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função
no ponto
.
Determine o plano tangente e a reta normal ao paraboloide eliptico
no ponto
.
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm , respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo
. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.
Mostre que
é diferenciável em
.