Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem uma altura interna de 6 cm , um raio interno de 2 cm e uma espessura de . Se o custo do metal a ser usado ć de RS 10,00 por centímetro cúbico, ache por diferenciais o custo aproximado do metal que scrá empregado na produção do recipiente. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o custo do metal usado para fazer um recipiente cilíndrico fechado. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, especificamente diferenciais, para aproximar esse custo. Pra resolver, vamos precisar das medidas do recipiente (altura, raio interno e espessura da parede) e da fórmula do volume do cilindro: .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume de metal usado no recipiente é a diferença entre o volume do cilindro externo (com raio maior devido à espessura) e o volume do cilindro interno. Então, precisamos calcular o raio externo.
O raio interno é e a espessura da parede é . Assim, o raio externo fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular os volumes dos cilindros interno e externo usando a fórmula , onde .
Volume interno:
Volume externo:

Passo 4

O volume de metal usado é a diferença entre o volume externo e o interno:

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo do metal. Sabemos que o custo é de R$10,00 por centímetro cúbico. Então, multiplicamos o volume de metal pelo custo unitário:

Resposta

O custo aproximado do metal empregado na produção do recipiente é de aproximadamente (considerando ).

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Determine o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função no ponto .
Determine o plano tangente e a reta normal ao paraboloide eliptico no ponto .
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Mostre que é diferenciável em .