Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
© z = ln(x^2 + 1) + y^2, (0,3)

Passo 1

Beleza, vamos determinar o plano tangente à superfície dada pela equação no ponto . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como elas ajudam a encontrar o plano tangente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de no ponto . Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto completo é .

Passo 3

Agora, para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações do plano nas direções de e .
Primeiro, calculemos , a derivada parcial de em relação a :
No ponto , substituindo :

Passo 4

Agora, calculemos , a derivada parcial de em relação a :
No ponto , substituindo :

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo , , , e :
Simplificando:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:

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