Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos determinar o plano tangente à superfície dada pela equação
no ponto
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como elas ajudam a encontrar o plano tangente. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
no ponto
. Substituindo
e
na equação da superfície:
Então, o ponto completo é
.
Passo 3
Agora, para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão as inclinações do plano nas direções de
e
.
Primeiro, calculemos
, a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
, substituindo
:
Passo 4
Agora, calculemos
, a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
, substituindo
:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo
,
,
,
e
:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é dado por: