Seja F(u, v) uma função de duas variáveis. Calcule f'(x) se
(a) f(x) = F(x, 3)

Passo 1

Então, a gente tem uma função de duas variáveis, F(u, v). A tarefa é encontrar a derivada de f(x), onde . Vamos precisar entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Aqui, estamos fixando a segunda variável v em 3. Isso significa que f(x) é basicamente a função F quando v é sempre 3, então só a primeira variável u varia com x.

Passo 3

Para encontrar , ou seja, a derivada de f em relação a x, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:

Passo 4

No nosso caso, e . Vamos calcular cada termo:
  • é a derivada parcial de F em relação a u.
  • é a derivada de u em relação a x, que é 1, já que .
  • é a derivada parcial de F em relação a v.
  • é a derivada de v em relação a x, que é 0, já que é constante.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia:
Isso simplifica para:

Resposta

Portanto, a derivada de f(x) é a derivada parcial de F em relação a u:

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