Use a Regra de Simpson com n = 6 para estimar o comprimento do arco da curva com as equações x=t^2, y=t^3, z=t^4, 0 <= t <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva definida pelas equações paramétricas , e no intervalo de até . Para isso, vamos usar a Regra de Simpson, que é uma técnica de integração numérica. Vamos precisar entender como calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada e aplicar a Regra de Simpson com intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por , e , o comprimento do arco entre e é dado pela fórmula:
Então, nossa primeira tarefa é encontrar as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:

Passo 4

Nossa integral para calcular o comprimento do arco fica assim:
Essa função dentro da raiz é um pouco complicada para integrar analiticamente, por isso vamos usar a Regra de Simpson para obter uma aproximação numérica do valor da integral.

Passo 5

A Regra de Simpson é uma técnica de integração que aproxima a integral de uma função usando parábolas. A fórmula da Regra de Simpson para intervalos (onde é par) é:
í
onde e para .
No nosso caso, , e , então:

Passo 6

Vamos calcular os pontos e avaliar a função em cada um desses pontos:
Calculando :

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra de Simpson:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

O comprimento do arco da curva estimado pela Regra de Simpson com é aproximadamente 129,62 unidades.

Exercícios relacionados