Use a Regra de Simpson com
para estimar o comprimento do arco da curva com as equações
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva definida pelas equações paramétricas
,
e
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a Regra de Simpson, que é uma técnica de integração numérica. Vamos precisar entender como calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada e aplicar a Regra de Simpson com
intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por
,
e
, o comprimento do arco
entre
e
é dado pela fórmula:
Então, nossa primeira tarefa é encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Passo 4
Nossa integral para calcular o comprimento do arco fica assim:
Essa função dentro da raiz é um pouco complicada para integrar analiticamente, por isso vamos usar a Regra de Simpson para obter uma aproximação numérica do valor da integral.
Passo 5
A Regra de Simpson é uma técnica de integração que aproxima a integral de uma função usando parábolas. A fórmula da Regra de Simpson para
intervalos (onde
é par) é:
onde
e
para
.
No nosso caso,
,
e
, então:
Passo 6
Vamos calcular os pontos
e avaliar a função
em cada um desses pontos:
Calculando
:
Passo 7
Agora, aplicamos a Regra de Simpson:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva estimado pela Regra de Simpson com
é aproximadamente 129,62 unidades.