Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície definida pela equação e um ponto específico nessa superfície, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar o plano tangente a essa superfície nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções desses eixos.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas e avaliadas no ponto, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto é:
No nosso caso, . Vamos calcular :
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é .

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Seja uma função de duas variáveis. Calcule se
(b)
Considere a função .
(b) Calcule
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(e) ,
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(i)