Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços dessa matriz:
Pra isso, vamos usar conceitos de determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o polinômio característico. Ele é dado por:
Onde
é a matriz e
é a matriz identidade.
Passo 3
Subtraímos
nos elementos da diagonal principal da matriz:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vamos expandir essa expressão:
Subtraindo
:
Então, o polinômio característico é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Agora, vamos achar os autoespaços para cada autovalor. Primeiro para
:
Substituindo:
[
]
Isso simplifica para:
Então, os vetores próprios são múltiplos de
.
Passo 8
Agora para
:
Substituindo:
[
]
Isso dá:
Então, os vetores próprios são múltiplos de
.
Resposta
O polinômio característico é
. Os autovalores são
e
. Os autoespaços associados são todos os vetores múltiplos de
para
e de
para
.