Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(a) [ll1 & 5 2 & 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços dessa matriz:
1 & 5 2 & 4
Pra isso, vamos usar conceitos de determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o polinômio característico. Ele é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde é a matriz e é a matriz identidade.

Passo 3

Subtraímos A - lambda I = 1 - lambda & 5 2 & 4 - lambda nos elementos da diagonal principal da matriz:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (2)(5)

Passo 5

Vamos expandir essa expressão:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 -5lambda +4
Subtraindo lambda^2 -5lambda +4 -10 = lambda^2 -5lambda -6 :
lambda^2 -5lambda -6 =0
Então, o polinômio característico é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 -5lambda -6 =0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 5 pm raiz25 +242 = 5 pm raiz492 = 5 pm 72
Então, os autovalores são:
lambda1 = 122 =6 e lambda2 = -22 = -1

Passo 7

Agora, vamos achar os autoespaços para cada autovalor. Primeiro para (A -6I)v =0 :
1-6 &5 2 &4-6 v1 v2 = -5 &5 2 &-2 v1 v2 = 0 0
Substituindo:
[
-5v1 +5v2 =0 implies v1 = v2
1 1



]
Isso simplifica para:
Então, os vetores próprios são múltiplos de .

Passo 8

Agora para (A +I)v =0 :
1+1 &5 2 &4+1 v1 v2 = 2 &5 2 &5 v1 v2 = 0 0
Substituindo:
[
2v1 +5v2 =0 implies v1 = -52v2
-5/2 1



]
Isso dá:
Então, os vetores próprios são múltiplos de .

Resposta

O polinômio característico é 1 1. Os autovalores são -5/2 1 e . Os autoespaços associados são todos os vetores múltiplos de para e de para .

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