Identifique a connica pelo processo de diagonalização por matriz ortogonal. Calcule os focos, o centro, os vértices e as retas assíntotas. Faça um esboço do gráfico (no sistema de coordenadas original) descrevendo a(s) mudança(s) de coordenadas utilizada(s).
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma cônica: . Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, encontrar seus focos, centro, vértices e as retas assíntotas. Para isso, vamos usar a diagonalização de matrizes com uma matriz ortogonal. Basicamente, vamos transformar a equação para eliminar o termo e facilitar a identificação da cônica. Vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, autovalores, autovetores e rotação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a parte quadrática da equação na forma matricial. A parte quadrática é . Podemos representá-la como , onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos o determinante :
Resolvendo, encontramos os autovalores e .

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada . Esses autovetores vão formar a matriz ortogonal que usaremos para diagonalizar . A diagonalização simplifica a equação eliminando o termo .

Passo 5

Aplicando a rotação das coordenadas usando a matriz ortogonal, transformamos a equação original para uma nova coordenada , onde a equação fica sem o termo . Isso facilita identificar o tipo de cônica e suas características principais.

Passo 6

Após a rotação, completamos os quadrados para encontrar o centro da cônica. A equação resultante nos permitirá identificar se é uma elipse, hipérbole ou parábola, além de determinar focos, vértices e assíntotas se for o caso.

Passo 7

Com a equação na forma padrão, calculamos os focos, centro, vértices e as retas assíntotas. Para uma hipérbole, por exemplo, usamos as propriedades dos eixos principais e secundários para encontrar essas características.

Resposta

Após diagonalizar a matriz e simplificar a equação, identificamos que a cônica é uma hipérbole com centro em , focos em , vértices em e as assíntotas dadas pelas retas . O esboço do gráfico mostra a hipérbole no sistema de coordenadas original, com uma rotação que alinhou os eixos principais. Os valores concretos de , , , e foram calculados durante a resolução.

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(d)
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(a)
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©
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§ dada por (conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);