Verifique se os vetores dados são autovetores das matrizes por meio da multiplicação e encontre um autovalor correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o vetor A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 é um autovetor da matriz
Um autovetor de uma matriz é um vetor que, quando multiplicado por essa matriz, resulta em um múltiplo do próprio vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar uma matriz por um vetor e entender o conceito de autovetores e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar a matriz A cdot v = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 cdot 1 1 1 pelo vetor 2 times 1 + (-1) times 1 + (-1) times 1 = 2 - 1 - 1 = 0 . A multiplicação de uma matriz por um vetor é feita multiplicando cada linha da matriz pelos componentes do vetor e somando os resultados.
Então,
(-1) times 1 + 2 times 1 + (-1) times 1 = -1 + 2 - 1 = 0
Vamos calcular cada componente do resultado:
Primeira linha:
(-1) times 1 + (-1) times 1 + 2 times 1 = -1 -1 + 2 = 0
Segunda linha:
A cdot v = 0 0 0
Terceira linha:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse resultado é um múltiplo do próprio vetor lambda cdot v = lambda cdot 1 1 1 = lambda lambda lambda . Um vetor multiplicado por um escalar 0 0 0 fica assim:
lambda cdot 1 1 1 = 0 0 0 Rightarrow lambda = 0
No nosso caso, . Isso seria igual a se e somente se . Ou seja,
Passo 4
Então, concluímos que quando multiplicamos a matriz pelo vetor , obtemos o vetor nulo, que é igual a vezes o vetor . Isso significa que é um autovetor da matriz , e o autovalor correspondente é .
Resposta
Sim, o vetor é um autovetor da matriz dada, e o autovalor correspondente é .