Verifique se os vetores dados são autovetores das matrizes por meio da multiplicação e encontre um autovalor correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o vetor é um autovetor da matriz
Um autovetor de uma matriz é um vetor que, quando multiplicado por essa matriz, resulta em um múltiplo do próprio vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar uma matriz por um vetor e entender o conceito de autovetores e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar a matriz pelo vetor . A multiplicação de uma matriz por um vetor é feita multiplicando cada linha da matriz pelos componentes do vetor e somando os resultados.
Então,
Vamos calcular cada componente do resultado:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse resultado é um múltiplo do próprio vetor . Um vetor multiplicado por um escalar fica assim:
No nosso caso, . Isso seria igual a se e somente se . Ou seja,
Passo 4
Então, concluímos que quando multiplicamos a matriz pelo vetor , obtemos o vetor nulo, que é igual a vezes o vetor . Isso significa que é um autovetor da matriz , e o autovalor correspondente é .
Resposta
Sim, o vetor é um autovetor da matriz dada, e o autovalor correspondente é .