Verifique se os vetores dados são autovetores das matrizes por meio da multiplicação e encontre um autovalor correspondente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o vetor é um autovetor da matriz
Um autovetor de uma matriz é um vetor que, quando multiplicado por essa matriz, resulta em um múltiplo do próprio vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar uma matriz por um vetor e entender o conceito de autovetores e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz pelo vetor . A multiplicação de uma matriz por um vetor é feita multiplicando cada linha da matriz pelos componentes do vetor e somando os resultados.
Então,
Vamos calcular cada componente do resultado:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse resultado é um múltiplo do próprio vetor . Um vetor multiplicado por um escalar fica assim:
No nosso caso, . Isso seria igual a se e somente se . Ou seja,

Passo 4

Então, concluímos que quando multiplicamos a matriz pelo vetor , obtemos o vetor nulo, que é igual a vezes o vetor . Isso significa que é um autovetor da matriz , e o autovalor correspondente é .

Resposta

Sim, o vetor é um autovetor da matriz dada, e o autovalor correspondente é .

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Seja a transformação linear dada por
Determine:
(a) a matriz da transformação em relação às bases canônicas
Encontre o polinômio característico, os autovalores da matriz e as bases dos autoespaços das matrizes:
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(a)