Seja T: R^2 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y)=(2 y, x-y, x)
Encontre a matriz da transformação em relação às bases
B1=(1,-1),(0,2) e B2=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
  • Base de partida
  • Base de chegada
Para fazer isso, vamos precisar entender como as bases estão organizadas e como a transformação age sobre os vetores da base . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação em cada vetor da base . Temos dois vetores na base :
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando T(1, -1) = (2 cdot (-1), 1 - (-1), 1) = (-2, 2, 1) :
T(0, 2) = (2 cdot 2, 0 - 2, 0) = (4, -2, 0)
Calculando :
Agora temos as imagens dos vetores da base na base padrão de .

Passo 4

O próximo passo é expressar esses vetores T(vi) = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 e na base . Para isso, vamos resolver sistemas lineares para encontrar as coordenadas desses vetores em relação a .
A base é formada por:
Queremos encontrar scalars tais que:
Vamos fazer isso para cada .

Passo 5

Primeiro, para c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 = -2 c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 2 = 2 c1 cdot (-1) + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 = 1 :
c1 + c3 = 4 c2 + 2c3 = -2 -c1 + 2c2 = 0
Resolvendo esse sistema:
  1. (da primeira equação)
  2. (da segunda)
  3. (da terceira)
Da primeira equação, . Substituindo na terceira:
Da segunda equação, . Substituindo na equação acima:
Então,
E
Portanto, as coordenadas de na base são .
Agora, vamos repetir o processo para .
Configurar o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na terceira:
Da segunda equação, . Substituindo:
Então,
E
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz da transformação -dfrac113 & dfrac203 -dfrac43 & dfrac103 dfrac53 & -dfrac83 em relação às bases e é:

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