Encontre a matriz da transformação em relação às bases
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
Base de partida
Base de chegada
Para fazer isso, vamos precisar entender como as bases estão organizadas e como a transformação age sobre os vetores da base . Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação em cada vetor da base . Temos dois vetores na base :
Vamos calcular e .
Passo 3
Calculando :
Calculando :
Agora temos as imagens dos vetores da base na base padrão de .
Passo 4
O próximo passo é expressar esses vetores e na base . Para isso, vamos resolver sistemas lineares para encontrar as coordenadas desses vetores em relação a .
A base é formada por:
Queremos encontrar scalars tais que:
Vamos fazer isso para cada .
Passo 5
Primeiro, para :
Resolvendo esse sistema:
(da primeira equação)
(da segunda)
(da terceira)
Da primeira equação, . Substituindo na terceira:
Da segunda equação, . Substituindo na equação acima:
Então,
E
Portanto, as coordenadas de na base são .
Agora, vamos repetir o processo para .
Configurar o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na terceira:
Da segunda equação, . Substituindo:
Então,
E
Então, as coordenadas de na base são .
Resposta
A matriz da transformação -dfrac113 & dfrac203 -dfrac43 & dfrac103 dfrac53 & -dfrac83 em relação às bases e é: