Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(d) [ll1 & 3 2 & 6]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz dada. Para isso, vamos usar conceitos como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico é dado por det(A - lambda I), onde A é a matriz original, lambda é um escalar (autovalor) e I é a matriz identidade.

Passo 3

Nossa matriz A é:
A = 1 & 3 2 & 6
A matriz identidade I de ordem 2 é:
I = 1 & 0 0 & 1
Então, A - lambda I fica:
A - lambda I = 1 - lambda & 3 2 & 6 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(6 - lambda) - (3)(2)
Multiplicando:
= (1 cdot 6) - (1 cdot lambda) - (6 cdot lambda) + (lambda cdot lambda) - 6
= 6 - lambda - 6lambda + lambda^2 - 6

Passo 5

Simplificando os termos:
6 - 6 = 0
- lambda - 6lambda = -7lambda
Então, o polinômio característico é:
lambda^2 - 7lambda

Passo 6

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação do polinômio característico igual a zero:
lambda^2 - 7lambda = 0
Fatorando:
lambda (lambda - 7) = 0

Passo 7

As soluções dessa equação são os autovalores:
lambda = 0 e lambda = 7

Passo 8

Agora, vamos encontrar os autoespaços associados a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema (A - lambda I)x = 0 para cada lambda.

Passo 9

Para lambda = 0:
A - 0I = A = 1 & 3 2 & 6
Resolvendo o sistema:
1x + 3y = 0 2x + 6y = 0
A segunda equação é o dobro da primeira, então temos:
x = -3y
Podemos expressar os vetores do autoespaço como:
x = y -3 1, y in R

Passo 10

Para lambda = 7:
A - 7I = 1-7 & 3 2 & 6-7 = -6 & 3 2 & -1
Resolvendo o sistema:
-6x + 3y = 0 2x - y = 0
Da segunda equação:
y = 2x
Substituindo na primeira equação:
-6x + 3(2x) = 0 -6x + 6x = 0
Isso confirma a solução. Assim, os vetores do autoespaço são:
x = x 1 2, x in R

Resposta

  • Polinômio característico: lambda^2 - 7lambda
  • Autovalores: lambda = 0 e lambda = 7
  • Autoespaços:
    • Para lambda = 0: Todos os múltiplos de -3 1
    • Para lambda = 7: Todos os múltiplos de 1 2

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