Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(d)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz dada. Para isso, vamos usar conceitos como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico é dado por , onde é a matriz original, é um escalar (autovalor) e é a matriz identidade.

Passo 3

Nossa matriz é:
A matriz identidade de ordem 2 é:
Então, fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz :
Multiplicando:

Passo 5

Simplificando os termos:
Então, o polinômio característico é:

Passo 6

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação do polinômio característico igual a zero:
Fatorando:

Passo 7

As soluções dessa equação são os autovalores:

Passo 8

Agora, vamos encontrar os autoespaços associados a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema para cada .

Passo 9

Para :
Resolvendo o sistema:
A segunda equação é o dobro da primeira, então temos:
Podemos expressar os vetores do autoespaço como:

Passo 10

Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Isso confirma a solução. Assim, os vetores do autoespaço são:

Resposta

  • Polinômio característico:
  • Autovalores: e
  • Autoespaços:
    • Para : Todos os múltiplos de
    • Para : Todos os múltiplos de

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Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(a)
Identifique a connica pelo processo de diagonalização por matriz ortogonal. Calcule os focos, o centro, os vértices e as retas assíntotas. Faça um esboço do gráfico (no sistema de coordenadas original) descrevendo a(s) mudança(s) de coordenadas utilizada(s).
a) ;
Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
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