Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz dada. Para isso, vamos usar conceitos como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico é dado por
, onde
é a matriz original,
é um escalar (autovalor) e
é a matriz identidade.
Passo 3
Nossa matriz
é:
A matriz identidade
de ordem 2 é:
Então,
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz
:
Multiplicando:
Passo 5
Simplificando os termos:
Então, o polinômio característico é:
Passo 6
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação do polinômio característico igual a zero:
Fatorando:
Passo 7
As soluções dessa equação são os autovalores:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os autoespaços associados a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema
para cada
.
Passo 9
Para
:
Resolvendo o sistema:
A segunda equação é o dobro da primeira, então temos:
Podemos expressar os vetores do autoespaço como:
Passo 10
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Isso confirma a solução. Assim, os vetores do autoespaço são:
Resposta
- Polinômio característico:
- Autovalores:
e - Autoespaços:
- Para
: Todos os múltiplos de - Para
: Todos os múltiplos de
- Para
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(a)
(a)
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a) ;
a)
Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
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