Use um teorema da Geometria Plana para mostrar que se
e
forem vetores no espaço bi ou tridimensional, então
que é chamada de desigualdade triangular para vetores. Dê alguns exemplos para ilustrar essa desigualdade.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra gente usar um teorema da Geometria Plana para provar que, se
e
são vetores no espaço bidimensional ou tridimensional, então:
Isso é conhecido como desigualdade triangular para vetores. Além de provar isso, a gente também precisa dar alguns exemplos para ilustrar a desigualdade. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de vetores, norma (ou comprimento) de um vetor e o Teorema de Pitágoras, que é um dos pilares da Geometria Plana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. No espaço bidimensional ou tridimensional, um vetor pode ser representado por um conjunto de componentes, como
ou
. A norma de um vetor, denotada por
, é o seu comprimento e pode ser calculada usando a fórmula:
Passo 3
Agora, a soma de dois vetores
é feita componente a componente. Se
e
, então:
A norma dessa soma será:
Passo 4
Para provar a desigualdade triangular, vamos usar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades das raízes quadradas e das desigualdades. Sabemos que para quaisquer números reais
e
:
Aplicando isso às componentes dos vetores, temos:
Passo 5
Expandindo os quadrados:
O que pode ser reorganizado como:
Passo 6
Perceba que:
Então, nossa expressão fica:
Isso porque
pela propriedade do produto interno.
Passo 7
Agora, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para obter a desigualdade desejada:
Assim, mostramos que a norma da soma dos vetores é menor ou igual à soma das normas dos vetores, que é a desigualdade triangular.
Passo 8
Vamos ver alguns exemplos para ilustrar essa desigualdade.
Exemplo 1:
Seja
e
.
Calculando as normas:
Somando os vetores:
Verificando a desigualdade:
Exemplo 2:
Seja
e
.
Calculando as normas:
Somando os vetores:
Verificando a desigualdade:
Ambos os exemplos confirmam que a desigualdade triangular se mantém.
Resposta
Provei que, usando um teorema da Geometria Plana, a norma da soma de dois vetores
e
é sempre menor ou igual à soma das normas dos vetores, ou seja:
Além disso, os exemplos mostraram que a desigualdade é válida em situações práticas.
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(d) .
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e
tais que:
c) e
.
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(k) .
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§ .
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