Use um teorema da Geometria Plana para mostrar que se u e v forem vetores no espaço bi ou tridimensional, então
|u+v| <=|u|+|v|
que é chamada de desigualdade triangular para vetores. Dê alguns exemplos para ilustrar essa desigualdade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra gente usar um teorema da Geometria Plana para provar que, se |u + v| <= |u| + |v| e são vetores no espaço bidimensional ou tridimensional, então:
Isso é conhecido como desigualdade triangular para vetores. Além de provar isso, a gente também precisa dar alguns exemplos para ilustrar a desigualdade. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de vetores, norma (ou comprimento) de um vetor e o Teorema de Pitágoras, que é um dos pilares da Geometria Plana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. No espaço bidimensional ou tridimensional, um vetor pode ser representado por um conjunto de componentes, como |u| = raizu1^2 + u2^2 (em 2D) ou |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 (em 3D) . A norma de um vetor, denotada por , é o seu comprimento e pode ser calculada usando a fórmula:

Passo 3

Agora, a soma de dois vetores u + v = (u1 + v1, u2 + v2) é feita componente a componente. Se |u + v| = raiz(u1 + v1)^2 + (u2 + v2)^2 (em 2D) e , então:
A norma dessa soma será:

Passo 4

Para provar a desigualdade triangular, vamos usar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades das raízes quadradas e das desigualdades. Sabemos que para quaisquer números reais (a + b)^2 <= (|a| + |b|)^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2 e |u + v|^2 = (u1 + v1)^2 + (u2 + v2)^2 <= (|u1| + |v1|)^2 + (|u2| + |v2|)^2 :
Aplicando isso às componentes dos vetores, temos:

Passo 5

Expandindo os quadrados:
(|u1| + |v1|)^2 + (|u2| + |v2|)^2 = u1^2 + 2|u1||v1| + v1^2 + u2^2 + 2|u2||v2| + v2^2
O que pode ser reorganizado como:
(u1^2 + u2^2) + (v1^2 + v2^2) + 2(|u1||v1| + |u2||v2|)

Passo 6

Perceba que:
u1^2 + u2^2 = |u|^2 e v1^2 + v2^2 = |v|^2
Então, nossa expressão fica:
|u + v|^2 <= |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v|
Isso porque pela propriedade do produto interno.

Passo 7

Agora, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para obter a desigualdade desejada:
|u + v| <= raiz|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| = |u| + |v|
Assim, mostramos que a norma da soma dos vetores é menor ou igual à soma das normas dos vetores, que é a desigualdade triangular.

Passo 8

Vamos ver alguns exemplos para ilustrar essa desigualdade.
Exemplo 1:
Seja |u| = raiz3^2 + 4^2 = 5 e |v| = raiz1^2 + 2^2 = raiz5 approx 2,24 .
Calculando as normas:
u + v = (4, 6)
|u + v| = raiz4^2 + 6^2 = raiz52 approx 7,21
Somando os vetores:
7,21 <= 5 + 2,24 Rightarrow 7,21 <= 7,24
|u| = 0
Verificando a desigualdade:
|v| = raiz5^2 + 12^2 = 13
Exemplo 2:
Seja u + v = (5, 12) e |u + v| = 13 .
Calculando as normas:
13 <= 0 + 13 Rightarrow 13 <= 13
Somando os vetores:
Verificando a desigualdade:
Ambos os exemplos confirmam que a desigualdade triangular se mantém.

Resposta

Provei que, usando um teorema da Geometria Plana, a norma da soma de dois vetores |u + v| <= |u| + |v| e é sempre menor ou igual à soma das normas dos vetores, ou seja:
Além disso, os exemplos mostraram que a desigualdade é válida em situações práticas.

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