Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(k) .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear que envolve operadores lineares. O enunciado pede para determinar o polinômio característico do operador , encontrar seus autovalores e autovetores, e também dar uma base e a dimensão dos autoespaços correspondentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz de um operador linear, polinômio característico, autovalores, autovetores e autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Dado , a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) é dado por:
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para 2 & 2 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2 x y z = 0 0 0 :
Resolvemos 2x + 2y = 0 x + y + 2z = 0 x + y + 2z = 0 :
[ 2x + 2y = 0 Rightarrow x = -y x + y + 2z = 0 Rightarrow -y + y + 2z = 2z = 0 Rightarrow z = 0
A - I = 1 & 2 & 0 1 & 0 & 2 1 & 1 & 1
]
Isso nos dá o sistema:
x + 2y = 0 x + 2z = 0 x + y + z = 0
Simplificando, temos:
-2y + y + y = 0 Rightarrow 0 = 0
A - 4I = -2 & 2 & 0 1 & -3 & 2 1 & 1 & -2
Então, os autovetores têm a forma -2x + 2y = 0 x - 3y + 2z = 0 x + y - 2z = 0 . Portanto, a base do autoespaço para x + x - 2z = 0 Rightarrow 2x = 2z Rightarrow z = x é x - 3x + 2x = 0 Rightarrow 0 = 0 e a dimensão é 1.
Para :
Resolvemos :
Sistema:
De , temos .
De , usando , temos .
Substituindo em :
Então, os autovetores têm a forma . Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.
Para :
Resolvemos :
Sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação:
Agora, verificamos na segunda equação:
Então, os autovetores têm a forma . Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.
Resposta
O polinômio característico é . Os autovalores são , e .
Os autovetores correspondentes são:
Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
Cada conjunto de autovetores forma uma base para seu respectivo autoespaço.