Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(k) .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear que envolve operadores lineares. O enunciado pede para determinar o polinômio característico do operador , encontrar seus autovalores e autovetores, e também dar uma base e a dimensão dos autoespaços correspondentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz de um operador linear, polinômio característico, autovalores, autovetores e autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Dado , a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por:
onde é a matriz identidade. Vamos calcular :
Passo 4
Calculando o determinante de :
Vamos simplificar passo a passo:
Calculando :
Substituindo de volta:
Expandindo :
Substituindo de volta:
Então, o polinômio característico é:
Passo 5
Vamos encontrar os autovalores resolvendo :
Isso nos dá uma raiz imediata:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Então, os autovalores são , e .
Passo 6
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos:
Então, os autovetores têm a forma . Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.
Para :
Resolvemos :
Sistema:
De , temos .
De , usando , temos .
Substituindo em :
Então, os autovetores têm a forma . Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.
Para :
Resolvemos :
Sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação:
Agora, verificamos na segunda equação:
Então, os autovetores têm a forma . Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.
Resposta
O polinômio característico é . Os autovalores são , e .
Os autovetores correspondentes são:
Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
Cada conjunto de autovetores forma uma base para seu respectivo autoespaço.