Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(k) T(x, y, z)=(2 x+2 y, x+y+2 z, x+y+2 z).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear que envolve operadores lineares. O enunciado pede para determinar o polinômio característico do operador , encontrar seus autovalores e autovetores, e também dar uma base e a dimensão dos autoespaços correspondentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz de um operador linear, polinômio característico, autovalores, autovetores e autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 2 & 2 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2 como uma matriz. Dado , a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) é dado por:
A - lambda I = 2 - lambda & 2 & 0 1 & 1 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda
onde é a matriz identidade. Vamos calcular :

Passo 4

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 2[1 cdot (2 - lambda) - 2 cdot 1] + 0 :
= (2 - lambda)[(1 - lambda)(2 - lambda) - 2] - 2[(2 - lambda) - 2]
Vamos simplificar passo a passo:
= 2 - lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 3lambda + 2
Calculando = (2 - lambda)[lambda^2 - 3lambda + 2 - 2] - 2[2 - lambda - 2] :
= (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda) - 2(-lambda)
Substituindo de volta:
= (2 - lambda)lambda(lambda - 3) + 2lambda
= lambda(2 - lambda)(lambda - 3) + 2lambda
= lambda[(2 - lambda)(lambda - 3) + 2]
= 2lambda - 6 - lambda^2 + 3lambda = -lambda^2 + 5lambda - 6
= lambda[-lambda^2 + 5lambda - 6 + 2] = lambda[-lambda^2 + 5lambda - 4]
Expandindo = -lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda :
p(lambda) = -lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda = lambda(-lambda^2 + 5lambda - 4)
Substituindo de volta:
Então, o polinômio característico é:

Passo 5

Vamos encontrar os autovalores resolvendo lambda(-lambda^2 + 5lambda - 4) = 0 :
lambda = 0
Isso nos dá uma raiz imediata:
-lambda^2 + 5lambda - 4 = 0 Rightarrow lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 5 + 32 = 4 e lambda2 = 5 - 32 = 1
Portanto, os autovalores são:
Então, os autovalores são , e .

Passo 6

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para 2 & 2 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2 x y z = 0 0 0 :
Resolvemos 2x + 2y = 0 x + y + 2z = 0 x + y + 2z = 0 :

[
2x + 2y = 0 Rightarrow x = -y
x + y + 2z = 0 Rightarrow -y + y + 2z = 2z = 0 Rightarrow z = 0

A - I = 1 & 2 & 0 1 & 0 & 2 1 & 1 & 1
]
Isso nos dá o sistema:
x + 2y = 0 x + 2z = 0 x + y + z = 0
Simplificando, temos:
-2y + y + y = 0 Rightarrow 0 = 0
A - 4I = -2 & 2 & 0 1 & -3 & 2 1 & 1 & -2
Então, os autovetores têm a forma -2x + 2y = 0 x - 3y + 2z = 0 x + y - 2z = 0 . Portanto, a base do autoespaço para x + x - 2z = 0 Rightarrow 2x = 2z Rightarrow z = x é x - 3x + 2x = 0 Rightarrow 0 = 0 e a dimensão é 1.
Para :
Resolvemos :
Sistema:
De , temos .
De , usando , temos .
Substituindo em :
Então, os autovetores têm a forma . Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.
Para :
Resolvemos :
Sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação:
Agora, verificamos na segunda equação:
Então, os autovetores têm a forma . Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico é . Os autovalores são , e .
Os autovetores correspondentes são:
  • Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
  • Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
  • Para : com dimensão do autoespaço igual a 1.
Cada conjunto de autovetores forma uma base para seu respectivo autoespaço.

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