Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
§ T(x, y, z, w)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z, w).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico do operador linear , além dos autovalores, autovetores e as bases dos autoespaços correspondentes. Vamos trabalhar com álgebra linear aqui, especificamente com matrizes e propriedades de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador T(x, y, z, w) = (3x - 4z, 3y + 5z, -z, w) como uma matriz. O operador é dado por:
A = 3 & 0 & -4 & 0 0 & 3 & 5 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Isso significa que a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 3 - lambda & 0 & -4 & 0 0 & 3 - lambda & 5 & 0 0 & 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 1 - lambda . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é um escalar. Calculando :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot (3 - lambda) cdot (-1 - lambda) cdot (1 - lambda)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)^2 cdot (-1 - lambda) cdot (1 - lambda)

Passo 5

Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = (3 - lambda)^2 ( -1 - lambda )(1 - lambda )

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovalores, ou seja, os valores de (3 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 3 (com mu que satisfazem -1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1 :
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
Então, os autovalores são (multiplicidade 2), e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - 3I = 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & 0 & -2 , resolvemos v = (a, b, 0, 0), a, b in R .
Para A + I = 4 & 0 & -4 & 0 0 & 4 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 :
v = (1, -1, 1, 0)
Resolvendo o sistema, obtemos que A - I = 2 & 0 & -4 & 0 0 & 2 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 e v = (2, -1, 0, w), w in R devem ser zero, e as primeiras duas coordenadas são livres. Então, os autovetores são da forma:
Para :
Resolvendo o sistema, temos e livre. As primeiras duas coordenadas também dependem de . Um autovetor correspondente pode ser:
Para :
Resolvendo o sistema, temos e livre. As primeiras duas coordenadas também devem satisfazer e , resultando em:

Resposta

O polinômio característico é . Os autovalores são (multiplicidade 2), e . Os autovetores correspondentes são:
  • Para : qualquer vetor da forma , com , formando um autoespaço de dimensão 2.
  • Para : vetores da forma , formando um autoespaço de dimensão 1.
  • Para : vetores da forma , com , formando um autoespaço de dimensão 1.
As bases dos autoespaços são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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