Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico do operador linear , além dos autovalores, autovetores e as bases dos autoespaços correspondentes. Vamos trabalhar com álgebra linear aqui, especificamente com matrizes e propriedades de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador como uma matriz. O operador é dado por:
Isso significa que a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 3 - lambda & 0 & -4 & 0 0 & 3 - lambda & 5 & 0 0 & 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 1 - lambda . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é um escalar. Calculando :
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
Resolvendo o sistema, obtemos que A - I = 2 & 0 & -4 & 0 0 & 2 & 5 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 e v = (2, -1, 0, w), w in R devem ser zero, e as primeiras duas coordenadas são livres. Então, os autovetores são da forma:
Para :
Resolvendo o sistema, temos e livre. As primeiras duas coordenadas também dependem de . Um autovetor correspondente pode ser:
Para :
Resolvendo o sistema, temos e livre. As primeiras duas coordenadas também devem satisfazer e , resultando em:
Resposta
O polinômio característico é . Os autovalores são (multiplicidade 2), e . Os autovetores correspondentes são:
Para : qualquer vetor da forma , com , formando um autoespaço de dimensão 2.
Para : vetores da forma , formando um autoespaço de dimensão 1.
Para : vetores da forma , com , formando um autoespaço de dimensão 1.