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Mostre que se e são autovalores distintos de um operador linear , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre autovalores distintos de um operador linear e os respectivos espaços próprios e . O objetivo é mostrar que se e são diferentes, então a interseção desses espaços próprios é apenas o vetor nulo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, autovetores e espaços próprios, além de usar propriedades básicas de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa e serem autovalores de . Isso quer dizer que existem vetores não nulos e em tais que:
Os vetores e são chamados de autovetores correspondentes aos autovalores e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos supor que existe um vetor que está na interseção dos espaços próprios e . Isso significa que satisfaz:
e
Então, temos:
Como e são distintos, podemos subtrair as duas equações:
Como , é diferente de zero. Para que o produto seja zero, deve ser o vetor nulo:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Encontre sabendo que , e o ângulo entre e é .
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
§ .
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Sejam um espaço vetorial e um operador linear não diagonalizável cujo polinômio característico é
Quais são as possibilidades para e ?
Sejam e . Mostre que
é um produto interno sobre .