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Mostre que se lambda e mu são autovalores distintos de um operador linear T: V V, então Vlambda cap Vmu=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre autovalores distintos de um operador linear e os respectivos espaços próprios e . O objetivo é mostrar que se e são diferentes, então a interseção desses espaços próprios é apenas o vetor nulo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, autovetores e espaços próprios, além de usar propriedades básicas de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa T(v) = lambda v e T(w) = mu w serem autovalores de . Isso quer dizer que existem vetores não nulos e em tais que:
Os vetores e são chamados de autovetores correspondentes aos autovalores e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos supor que existe um vetor T(x) = lambda x que está na interseção dos espaços próprios T(x) = mu x e lambda x = mu x . Isso significa que lambda x - mu x = 0 satisfaz:
(lambda - mu) x = 0
e
x = 0
Então, temos:
Como e são distintos, podemos subtrair as duas equações:
Como , é diferente de zero. Para que o produto seja zero, deve ser o vetor nulo:

Resposta

Portanto, .

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