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Mostre que se
e
são autovalores distintos de um operador linear
, então
.
Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre autovalores distintos de um operador linear
e os respectivos espaços próprios
e
. O objetivo é mostrar que se
e
são diferentes, então a interseção desses espaços próprios é apenas o vetor nulo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, autovetores e espaços próprios, além de usar propriedades básicas de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
e
serem autovalores de
. Isso quer dizer que existem vetores não nulos
e
em
tais que:
Os vetores
e
são chamados de autovetores correspondentes aos autovalores
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos supor que existe um vetor
que está na interseção dos espaços próprios
e
. Isso significa que
satisfaz:
e
Então, temos:
Como
e
são distintos, podemos subtrair as duas equações:
Como
,
é diferente de zero. Para que o produto seja zero,
deve ser o vetor nulo:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Encontre
sabendo que
, e o ângulo entre
e
é
.
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
§ .
§
9
Sejam um espaço vetorial e
um operador linear não diagonalizável cujo polinômio característico é
Sejam
Quais são as possibilidades para
e
?
Sejam
e
. Mostre que
é um produto interno sobre
.