Seja
com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de
. Calcule
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
com o produto interno usual, que é basicamente a soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. A tarefa é mostrar que o conjunto
é uma base ortogonal para
. Depois, precisamos descobrir como representar um vetor qualquer
nessa base
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno e bases ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortogonal. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que todo vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ela é ortogonal se todos os pares de vetores distintos na base são ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles é zero. Vamos verificar isso para cada par de vetores em
.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno entre cada par de vetores em
. O produto interno de dois vetores
e
em
é dado por:
Vamos começar calculando
, onde
e
:
Como o resultado é zero,
e
são ortogonais.
Passo 4
Vamos agora calcular
, onde
:
Novamente, o produto interno é zero, então
e
são ortogonais.
Passo 5
Seguimos para
, onde
:
Mais uma vez, o produto interno é zero, então
e
são ortogonais.
Passo 6
Agora, vamos verificar
:
O resultado é zero, então
e
são ortogonais.
Passo 7
Continuando, calculamos
:
Mais uma vez, temos um produto interno igual a zero. Portanto,
e
são ortogonais.
Passo 8
Por último, vamos calcular
:
O produto interno é zero, então
e
são ortogonais.
Passo 9
Como todos os pares de vetores em
são ortogonais, isso significa que
é um conjunto de vetores ortogonais. Além disso, como
tem 4 vetores e estamos em
, isso também confirma que
é uma base ortogonal para
.
Passo 10
Agora, vamos calcular
, ou seja, as coordenadas do vetor
na base
. Como
é uma base ortogonal, podemos encontrar cada coordenada projetando
em cada vetor base e dividindo pelo quadrado da norma do vetor base.
A fórmula para a coordenada
é:
Vamos calcular cada uma:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As coordenadas de
na base
são:
Exercícios relacionados
- Seja
munido com o produto interno
Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
X4. Seja
munido com o produto interno
onde
. Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(e) .
(e)