Seja V=R^4 com o produto interno usual. Mostre que
beta=(1,1,0,-1),(1,2,1,3),(1,1,-9,2),(16,-13,1,3)
é uma base ortogonal de V. Calcule [(a, b, c, d)]beta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial com o produto interno usual, que é basicamente a soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. A tarefa é mostrar que o conjunto é uma base ortogonal para . Depois, precisamos descobrir como representar um vetor qualquer nessa base . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno e bases ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortogonal. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que todo vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ela é ortogonal se todos os pares de vetores distintos na base são ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles é zero. Vamos verificar isso para cada par de vetores em .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre cada par de vetores em lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 . O produto interno de dois vetores lang<= beta1, beta2 rang<= = 1 cdot 1 + 1 cdot 2 + 0 cdot 1 + (-1) cdot 3 = 1 + 2 + 0 - 3 = 0 e em é dado por:
Vamos começar calculando , onde e :
Como o resultado é zero, e são ortogonais.

Passo 4

Vamos agora calcular lang<= beta1, beta3 rang<= = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 0 cdot (-9) + (-1) cdot 2 = 1 + 1 + 0 - 2 = 0 , onde :
Novamente, o produto interno é zero, então e são ortogonais.

Passo 5

Seguimos para lang<= beta1, beta4 rang<= = 1 cdot 16 + 1 cdot (-13) + 0 cdot 1 + (-1) cdot 3 = 16 - 13 + 0 - 3 = 0 , onde :
Mais uma vez, o produto interno é zero, então e são ortogonais.

Passo 6

Agora, vamos verificar lang<= beta2, beta3 rang<= = 1 cdot 1 + 2 cdot 1 + 1 cdot (-9) + 3 cdot 2 = 1 + 2 - 9 + 6 = 0 :
O resultado é zero, então e são ortogonais.

Passo 7

Continuando, calculamos lang<= beta2, beta4 rang<= = 1 cdot 16 + 2 cdot (-13) + 1 cdot 1 + 3 cdot 3 = 16 - 26 + 1 + 9 = 0 :
Mais uma vez, temos um produto interno igual a zero. Portanto, e são ortogonais.

Passo 8

Por último, vamos calcular lang<= beta3, beta4 rang<= = 1 cdot 16 + 1 cdot (-13) + (-9) cdot 1 + 2 cdot 3 = 16 - 13 - 9 + 6 = 0 :
O produto interno é zero, então e são ortogonais.

Passo 9

Como todos os pares de vetores em são ortogonais, isso significa que é um conjunto de vetores ortogonais. Além disso, como tem 4 vetores e estamos em , isso também confirma que é uma base ortogonal para .

Passo 10

Agora, vamos calcular coordenadak = lang<= (a, b, c, d), betak rang<=lang<= betak, betak rang<= , ou seja, as coordenadas do vetor lang<= (a, b, c, d), beta1 rang<= = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 + d cdot (-1) = a + b - d na base lang<= beta1, beta1 rang<= = 1^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 0 + 1 = 3 . Como coordenada1 = a + b - d3 é uma base ortogonal, podemos encontrar cada coordenada projetando lang<= (a, b, c, d), beta2 rang<= = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 1 + d cdot 3 = a + 2b + c + 3d em cada vetor base e dividindo pelo quadrado da norma do vetor base.
A fórmula para a coordenada lang<= beta2, beta2 rang<= = 1^2 + 2^2 + 1^2 + 3^2 = 1 + 4 + 1 + 9 = 15 é:
coordenada2 = a + 2b + c + 3d15
Vamos calcular cada uma:
  1. Para lang<= (a, b, c, d), beta3 rang<= = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-9) + d cdot 2 = a + b - 9c + 2d :
lang<= beta3, beta3 rang<= = 1^2 + 1^2 + (-9)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 81 + 4 = 87
coordenada3 = a + b - 9c + 2d87
lang<= (a, b, c, d), beta4 rang<= = a cdot 16 + b cdot (-13) + c cdot 1 + d cdot 3 = 16a - 13b + c + 3d
  1. Para lang<= beta4, beta4 rang<= = 16^2 + (-13)^2 + 1^2 + 3^2 = 256 + 169 + 1 + 9 = 435 :
coordenada4 = 16a - 13b + c + 3d435
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As coordenadas de [(a, b, c, d)]beta = ( a + b - d3, a + 2b + c + 3d15, a + b - 9c + 2d87, 16a - 13b + c + 3d435 ) na base são:

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