Seja com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de . Calcule .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial com o produto interno usual, que é basicamente a soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. A tarefa é mostrar que o conjunto é uma base ortogonal para . Depois, precisamos descobrir como representar um vetor qualquer nessa base . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno e bases ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortogonal. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que todo vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ela é ortogonal se todos os pares de vetores distintos na base são ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles é zero. Vamos verificar isso para cada par de vetores em .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre cada par de vetores em . O produto interno de dois vetores e em é dado por:
Vamos começar calculando , onde e :
Como o resultado é zero, e são ortogonais.

Passo 4

Vamos agora calcular , onde :
Novamente, o produto interno é zero, então e são ortogonais.

Passo 5

Seguimos para , onde :
Mais uma vez, o produto interno é zero, então e são ortogonais.

Passo 6

Agora, vamos verificar :
O resultado é zero, então e são ortogonais.

Passo 7

Continuando, calculamos :
Mais uma vez, temos um produto interno igual a zero. Portanto, e são ortogonais.

Passo 8

Por último, vamos calcular :
O produto interno é zero, então e são ortogonais.

Passo 9

Como todos os pares de vetores em são ortogonais, isso significa que é um conjunto de vetores ortogonais. Além disso, como tem 4 vetores e estamos em , isso também confirma que é uma base ortogonal para .

Passo 10

Agora, vamos calcular , ou seja, as coordenadas do vetor na base . Como é uma base ortogonal, podemos encontrar cada coordenada projetando em cada vetor base e dividindo pelo quadrado da norma do vetor base.
A fórmula para a coordenada é:
Vamos calcular cada uma:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As coordenadas de na base são:

Exercícios relacionados

  1. Seja munido com o produto interno
Determine uma base ortonormal de a partir da base
Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .
X4. Seja munido com o produto interno
onde . Determine uma base ortonormal de a partir da base
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(e) .