Resolva o sistema não linear utilizando o método de Newton considerando as condições iniciais: x1^0=1, x2^0=0,5.
l3 x1+2 x2-1=0 3 x1^2+2 x2^2-9=0
Complete a tabela:
x1^0=1 x2^0=0,5 s1^0= s2^0=
x1^1= x2^1= s1^1= s2^1=
x1^2= x2^2=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o método de Newton. O que a gente tem aqui são duas equações com duas incógnitas, e , e a gente precisa encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações cada vez melhores das soluções. Vamos precisar das derivadas das equações, que formam a matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
3x1 + 2x2 - 1 = 0 3x1^2 + 2x2^2 - 9 = 0
As condições iniciais são e . Também vamos precisar calcular e , que são as correções para as próximas iterações.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz Jacobiana, que é composta pelas derivadas parciais das equações em relação a partial f1partial x1 = 3 e partial f1partial x2 = 2 e partial f2partial x1 = 6x1 e partial f2partial x2 = 4x2 .
Para a primeira equação J = 3 & 2 6x1 & 4x2 :
Para a segunda equação :
Então, a matriz Jacobiana é:

Passo 4

Vamos agora calcular os valores das funções f1(1, 0,5) = 3(1) + 2(0,5) - 1 = 3 + 1 - 1 = 3 e f2(1, 0,5) = 3(1)^2 + 2(0,5)^2 - 9 = 3 + 0,5 - 9 = -5,5 nas condições iniciais F = 3 -5,5 e :
Então, o vetor é:

Passo 5

Agora, montamos a matriz Jacobiana com J = 3 & 2 6(1) & 4(0,5) = 3 & 2 6 & 2 e :

Passo 6

Para encontrar os ajustes J cdot s1 s2 = -F e 3 & 2 6 & 2 cdot s1 s2 = -3 5,5 , precisamos resolver o sistema linear:
Ou seja,
Vamos resolver esse sistema.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
6s1 + 2s2 = 5,5 Rightarrow 3s1 + s2 = 2,75 Rightarrow s2 = 2,75 - 3s1
Substituindo na primeira equação:
3s1 + 2(2,75 - 3s1) = -3 3s1 + 5,5 - 6s1 = -3 -3s1 = -8,5 s1 = 8,53 approx 2,8333
Agora, calculando s2 = 2,75 - 3(2,8333) approx 2,75 - 8,5 = -5,75 :

Passo 8

Com os ajustes x1^1 = x1^0 + s1 = 1 + 2,8333 = 3,8333 e x2^1 = x2^0 + s2 = 0,5 - 5,75 = -5,25 encontrados, atualizamos os valores de e :

Passo 9

Vamos agora preencher a primeira linha da tabela com os valores iniciais e os ajustes calculados:

Resposta

A tabela preenchida após a primeira iteração é:
Para completar mais iterações, você seguiria o mesmo processo: calcular e com os novos valores, montar a Jacobiana, resolver para os novos ajustes e atualizar os valores de e .

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