Resolva o sistema não linear utilizando o método de Newton considerando as condições iniciais: .
Complete a tabela:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o método de Newton. O que a gente tem aqui são duas equações com duas incógnitas, e , e a gente precisa encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações cada vez melhores das soluções. Vamos precisar das derivadas das equações, que formam a matriz Jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
As condições iniciais são e . Também vamos precisar calcular e , que são as correções para as próximas iterações.
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz Jacobiana, que é composta pelas derivadas parciais das equações em relação a e .
Para a primeira equação :
Para a segunda equação :
Então, a matriz Jacobiana é:
Passo 4
Vamos agora calcular os valores das funções e nas condições iniciais e :
Então, o vetor é:
Passo 5
Agora, montamos a matriz Jacobiana com e :
Passo 6
Para encontrar os ajustes e , precisamos resolver o sistema linear:
Ou seja,
Vamos resolver esse sistema.
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, calculando :
Passo 8
Com os ajustes e encontrados, atualizamos os valores de e :
Passo 9
Vamos agora preencher a primeira linha da tabela com os valores iniciais e os ajustes calculados:
Resposta
A tabela preenchida após a primeira iteração é:
Para completar mais iterações, você seguiria o mesmo processo: calcular e com os novos valores, montar a Jacobiana, resolver para os novos ajustes e atualizar os valores de e .