Resolva o sistema não linear utilizando o método de Newton considerando as condições iniciais: .

Complete a tabela:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o método de Newton. O que a gente tem aqui são duas equações com duas incógnitas, e , e a gente precisa encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações cada vez melhores das soluções. Vamos precisar das derivadas das equações, que formam a matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
As condições iniciais são e . Também vamos precisar calcular e , que são as correções para as próximas iterações.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz Jacobiana, que é composta pelas derivadas parciais das equações em relação a e .
Para a primeira equação :
Para a segunda equação :
Então, a matriz Jacobiana é:

Passo 4

Vamos agora calcular os valores das funções e nas condições iniciais e :
Então, o vetor é:

Passo 5

Agora, montamos a matriz Jacobiana com e :

Passo 6

Para encontrar os ajustes e , precisamos resolver o sistema linear:
Ou seja,
Vamos resolver esse sistema.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, calculando :

Passo 8

Com os ajustes e encontrados, atualizamos os valores de e :

Passo 9

Vamos agora preencher a primeira linha da tabela com os valores iniciais e os ajustes calculados:

Resposta

A tabela preenchida após a primeira iteração é:
Para completar mais iterações, você seguiria o mesmo processo: calcular e com os novos valores, montar a Jacobiana, resolver para os novos ajustes e atualizar os valores de e .

Exercícios relacionados

Resolva o sistema linear utilizando o método iterativo Gauss-Seidel. .

Complete a tabela:
Apresentados os dados da tabela:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
6,5 11,5 16,5 21,5 26,5 31,5 36,5 41,5 46,5 51,5
Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 1.
Obtenha a aproximação da integral. Use 4 casas decimais.
(b) Simpson: .
i xi fxi P
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Determine o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo:
-1 0 2
4 1 -1