Determine o polinômio de Taylor de f de ordem n em torno de x_0 nos seguintes casos:
c) f(x) = 1/x, x0 = 1, n = 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de . Para isso, precisamos entender o que é um polinômio de Taylor e como calcular suas derivadas até a ordem necessária.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de uma função em torno de de ordem é dado por:
Como queremos um polinômio de ordem 2, precisamos das até a segunda derivada de em .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo em :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Substituindo :

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada de :
Substituindo :

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:

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