a) Determine o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em , da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em , para a função . Para isso, vamos precisar entender de polinômios de Taylor e calcular as derivadas da função até a segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma forma de aproximar funções usando uma série de polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau 2 centrado em (também chamado de polinômio de Maclaurin) é:
Então, vamos calcular , e .

Passo 3

Vamos começar calculando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Então, avaliando em :

Passo 5

Seguimos para a segunda derivada:
Usando a regra do produto:
Agora, avaliando em :

Resposta

Então, substituindo na fórmula do polinômio de Taylor:

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