a) Determine o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em
, da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em
, para a função
. Para isso, vamos precisar entender de polinômios de Taylor e calcular as derivadas da função até a segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma forma de aproximar funções usando uma série de polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau 2 centrado em
(também chamado de polinômio de Maclaurin) é:
Então, vamos calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Seguimos para a segunda derivada:
Usando a regra do produto:
Agora, avaliando em
:
Resposta
Então, substituindo na fórmula do polinômio de Taylor: