a) Determine o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em
, da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em
, para a função
. Para isso, vamos precisar entender de polinômios de Taylor e calcular as derivadas da função até a segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma forma de aproximar funções usando uma série de polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau 2 centrado em
(também chamado de polinômio de Maclaurin) é:
Então, vamos calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Seguimos para a segunda derivada:
Usando a regra do produto:
Agora, avaliando em
:
Resposta
Então, substituindo na fórmula do polinômio de Taylor:
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Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?
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a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3, centrado em
de
.
Determine os valores de
para os quais a função
é uma solução da equação diferencial
.