Determine os valores de
para os quais a função
é uma solução da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de
que fazem com que a função
seja uma solução da equação diferencial
. Isso envolve entender equações diferenciais e como verificar se uma função dada satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é uma solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se substituirmos
na equação
, a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
em relação a
. A função dada é
. Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Fatorando
e
:
Passo 6
Para que a equação seja igual a zero, o fator que multiplicamos deve ser zero, já que
e
nunca são zero. Então:
Isso pode ser fatorado como:
Passo 7
Então, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que tornam
uma solução da equação diferencial são
e
.