Determine os valores de r para os quais a função y(t) = r / (t^2 + 1) é uma solução da equação diferencial y' - 6 t y^2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de que fazem com que a função seja uma solução da equação diferencial . Isso envolve entender equações diferenciais e como verificar se uma função dada satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é uma solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se substituirmos na equação , a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de em relação a . A função dada é . Para derivar isso, usamos a regra do quociente:

Passo 4

Agora, substituímos e na equação diferencial :

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Fatorando e :

Passo 6

Para que a equação seja igual a zero, o fator que multiplicamos deve ser zero, já que e nunca são zero. Então:
Isso pode ser fatorado como:

Passo 7

Então, as soluções são:

Resposta

Os valores de que tornam uma solução da equação diferencial são e .

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