Dê o que se pede:
Como saber quando a série de Taylor coincide com a função? Alguns exemplos foram provados em aula. Quais?
Como saber quando a série de Taylor coincide com a função? Alguns exemplos foram provados em aula. Quais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando como saber quando a série de Taylor de uma função realmente é igual à própria função. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e análises de convergência. Pra resolver, vamos precisar entender o que é a série de Taylor, quando ela converge para a função, e dar alguns exemplos práticos que foram vistos em aula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral é:
Onde
é a n-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Agora, para saber se a série de Taylor coincide com a função, a gente precisa verificar a convergência da série para a função no intervalo de interesse. Isso significa que, para cada
dentro desse intervalo, a soma infinita dos termos da série deve ser igual ao valor de
.
Passo 4
Um critério importante aqui é o Teorema de Taylor. Ele nos diz que se a função
for suficientemente diferenciável e se o resto da série de Taylor tende a zero quando
tende ao infinito, então a série de Taylor converge para
nesse ponto.
Passo 5
Além disso, a série de Taylor pode não coincidir com a função em todo o domínio. Tem funções que possuem apenas uma série de Taylor válida em um certo intervalo, e fora desse intervalo a série pode não convergir para a função.
Passo 6
Agora, vamos aos exemplos que foram provados em aula onde a série de Taylor coincide com a função:
- Exponencial:
. A série de Taylor de em qualquer ponto converge para para todo .
- Seno:
. A série de Taylor para também converge para a função para todo .
- Cosseno:
. Similarmente, a série de Taylor de coincide com a função em todo .
Resposta
Então, a série de Taylor coincide com a função quando a série converge para a função no intervalo considerado, o que acontece, por exemplo, com as funções exponencial
, seno
e cosseno
. Nessas funções, a série de Taylor representa a própria função em todo o seu domínio.
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.