a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3, centrado em de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre o polinômio de Taylor de grau 3, centrado em , para a função . Isso tá ligado ao estudo das séries de Taylor na matemática, que servem pra aproximar uma função por um polinômio perto de um ponto específico. Pra resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar tudo no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 para uma função centrado em :
No nosso caso, . Então, precisamos encontrar , , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
Então,
  1. Segunda derivada:
Então,
  1. Terceira derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para , centrado em , é:

Exercícios relacionados

a) Determine o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em , da função .
Dê o que se pede:
Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?
Determine os valores de para os quais a função é uma solução da equação diferencial .
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: