a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3, centrado em x = 1 de f(x) = raiz(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre o polinômio de Taylor de grau 3, centrado em , para a função . Isso tá ligado ao estudo das séries de Taylor na matemática, que servem pra aproximar uma função por um polinômio perto de um ponto específico. Pra resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar tudo no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 para uma função centrado em :
No nosso caso, . Então, precisamos encontrar , , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
Então,
  1. Segunda derivada:
Então,
  1. Terceira derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para , centrado em , é:

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