Dê o que se pede:
Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O enunciado pergunta: “Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?” Estamos trabalhando com o conteúdo de séries, especificamente com a possibilidade de derivar ou integrar suas expressões termo a termo. Para resolver, vamos precisar entender as condições sob as quais isso é permitido matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série é uma soma infinita de termos. Quando queremos derivar ou integrar uma série termo a termo, precisamos garantir que a operação pode ser feita sem alterar a convergência da série.

Passo 3

Consideremos as séries de potências, que têm a forma:
Onde são os coeficientes da série e é o centro da série.

Passo 4

Uma propriedade importante das séries de potências é que, dentro do seu raio de convergência, , é possível derivar ou integrar a série termo a termo sem alterar a convergência. Isso significa que, se , podemos:
Derivar termo a termo:
Integrar termo a termo:

Passo 5

Além das séries de potências, outras séries, como séries de Fourier que convergem uniformemente, também permitem a diferenciação e integração termo a termo dentro do intervalo de convergência.

Resposta

Séries de potências dentro do seu raio de convergência e séries de Fourier que convergem uniformemente podem ser derivadas ou integradas termo a termo.

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