Dê o que se pede:
Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?
Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O enunciado pergunta: “Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?” Estamos trabalhando com o conteúdo de séries, especificamente com a possibilidade de derivar ou integrar suas expressões termo a termo. Para resolver, vamos precisar entender as condições sob as quais isso é permitido matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série é uma soma infinita de termos. Quando queremos derivar ou integrar uma série termo a termo, precisamos garantir que a operação pode ser feita sem alterar a convergência da série.
Passo 3
Consideremos as séries de potências, que têm a forma:
Onde
são os coeficientes da série e
é o centro da série.
Passo 4
Uma propriedade importante das séries de potências é que, dentro do seu raio de convergência,
, é possível derivar ou integrar a série termo a termo sem alterar a convergência. Isso significa que, se
, podemos:
Derivar termo a termo:
Integrar termo a termo:
Passo 5
Além das séries de potências, outras séries, como séries de Fourier que convergem uniformemente, também permitem a diferenciação e integração termo a termo dentro do intervalo de convergência.
Resposta
Séries de potências dentro do seu raio de convergência e séries de Fourier que convergem uniformemente podem ser derivadas ou integradas termo a termo.
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Exiba a forma geral do polinômio de Taylor, centrado em
a) Determine o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em
, da função
.
a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3, centrado em
de
.