Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função
em torno de
. Isso significa que vamos aproximar a função
usando um polinômio que leva em conta até a quarta potência de
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a quarta ordem e avaliar cada uma delas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar cada derivada em
:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4 usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando o polinômio:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 4 para a função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Use a derivação implicita para determinar
Encontre o ponto onde as tangente à curva
nos pontos
e
se interceptam.
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.