Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função em torno de . Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio que leva em conta até a quarta potência de . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliar cada uma delas em .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar cada derivada em :

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4 usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando o polinômio:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 4 para a função em torno de é:

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Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .