Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função em torno de . Isso significa que vamos expandir a função em uma série de potências até o termo de . Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de uma função em torno de (que também é chamado de série de Maclaurin) é dado por:
Então, precisamos calcular , , , e .

Passo 3

Vamos começar calculando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada :
Usando a regra do produto:
Então, avaliando em :

Passo 5

Vamos para a segunda derivada :
Derivando termo a termo:
Avaliando em :

Passo 6

Agora, a terceira derivada :
Derivando termo a termo:
Avaliando em :

Passo 7

Por fim, a quarta derivada :
Derivando termo a termo:
Avaliando em :

Resposta

Com todas as derivadas calculadas, o polinômio de Taylor de grau 4 para em torno de é:

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Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .
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