Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função
em torno de
. Isso significa que vamos expandir a função em uma série de potências até o termo de
. Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a quarta ordem e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de uma função
em torno de
(que também é chamado de série de Maclaurin) é dado por:
Então, precisamos calcular
,
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
:
Usando a regra do produto:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Vamos para a segunda derivada
:
Derivando termo a termo:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora, a terceira derivada
:
Derivando termo a termo:
Avaliando em
:
Passo 7
Por fim, a quarta derivada
:
Derivando termo a termo:
Avaliando em
:
Resposta
Com todas as derivadas calculadas, o polinômio de Taylor de grau 4 para
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Encontre o ponto onde as tangente à curva
nos pontos
e
se interceptam.
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.