Se
é a posição de um corpo móvel no instante
, ache tempo, posição e velocidade em cada momento em que a aceleração é nula. (Lembre-se a velocidade é a taxa com que a posição de um objeto se modifica com o tempo, e a aceleração é a taxa com que a velocidade se modifica pelo tempo).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a posição de um corpo em movimento é dada por
. A gente precisa descobrir em que momentos a aceleração desse corpo é nula, ou seja, quando a aceleração
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de velocidade e aceleração como as taxas de variação da posição e da velocidade em relação ao tempo, respectivamente. Vamos precisar calcular derivadas para encontrar essas taxas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Agora, vamos derivar
.
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vou optar pela regra da cadeia aqui. A função pode ser escrita como
.
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar
. Para isso, usaremos a regra do quociente novamente.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente para derivar
:
Simplificando:
Passo 6
Queremos encontrar os momentos em que a aceleração é zero, ou seja,
:
O numerador deve ser zero:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a posição
e a velocidade
nesses momentos
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
A aceleração é nula nos momentos
e
. Nesses instantes, a posição do corpo é
e as velocidades são
(para
) e
(para
).