Encontre o ponto onde as tangente à curva nos pontos e se interceptam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto onde as tangentes à curva nos pontos e se interceptam. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente sobre derivadas e equações de retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação da tangente à curva no ponto . Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da tangente.
A derivada de é:
No ponto , substituímos :
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é 2.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação da tangente no ponto usando a forma da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação da tangente em .

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto . Observando a curva , vemos que quando , . O ponto não está na curva , mas vamos supor que queremos a tangente a uma curva diferente ou há um erro no enunciado. Para continuar, precisamos considerar que o segundo ponto também está na curva para termos uma tangente válida.
Vamos supor que o segundo ponto correto seja , que está na curva .

Passo 5

Vamos encontrar a equação da tangente no ponto . Calculamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é -2.
Usando a forma da equação da reta:
Simplificando:
Essa é a equação da tangente em .

Passo 6

Agora, temos as duas equações das tangentes:
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas retas resolvendo o sistema:
Somando em ambos os lados:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Dividindo por 4:
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar :

Resposta

O ponto de interseção das tangentes é .

Exercícios relacionados

Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .