Use a derivação implicita para determinar

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação . O que a questão quer é que a gente use derivação implícita para encontrar a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos precisar lembrar como fazer derivadas de funções implícitas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Como é uma constante, sua derivada será zero.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , aplicamos a regra da cadeia:
Isso resulta em:

Passo 4

Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Vamos derivar em relação a :
Aplicamos a regra do quociente:

Passo 6

Substituímos na equação:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada de em relação a é:

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Calcule
(2 pontos) Determine o raio de convergência da série de potências .
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .