Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
. Isso significa que vamos aproximar a função
por um polinômio de até quarto grau que se comporta de forma semelhante perto de
. Para isso, vamos usar a série de Taylor, que envolve derivadas da função avaliadas em
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela nos permite escrever uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. No caso, como queremos o polinômio de grau 4, vamos parar na quarta derivada. A fórmula geral do polinômio de Taylor de
em torno de
é:
Como
, a expressão fica mais simples:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Sabemos que:
Vamos calcular as derivadas:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
é:
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.
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em torno de
.