Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 em torno de x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de . Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio de até quarto grau que se comporta de forma semelhante perto de . Para isso, vamos usar a série de Taylor, que envolve derivadas da função avaliadas em .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela nos permite escrever uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. No caso, como queremos o polinômio de grau 4, vamos parar na quarta derivada. A fórmula geral do polinômio de Taylor de em torno de é:
Como , a expressão fica mais simples:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Sabemos que:
Vamos calcular as derivadas:
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de é:

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