Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função
em torno de
. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor. Se a gente quer um polinômio de grau
em torno de
, ele é dado por:
Como aqui
e
, nossa missão é calcular as derivadas de
até a quarta ordem e avalia-las em 0.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada uma dessas derivadas em
:
-
: -
: -
: -
: -
:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 0, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4:
Substituindo os valores:
Resposta
Então, o polinômio de Taylor de grau 4 para
em torno de 0 é:
Exercícios relacionados
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.
Encontre o ponto onde as tangente à curva
nos pontos
e
se interceptam.
Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função
em torno de
.