Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função em torno de . Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor. Se a gente quer um polinômio de grau em torno de , ele é dado por:
Como aqui e , nossa missão é calcular as derivadas de até a quarta ordem e avalia-las em 0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada uma dessas derivadas em :
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 0, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4:
Substituindo os valores:

Resposta

Então, o polinômio de Taylor de grau 4 para em torno de 0 é:

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