lim x 2 raizx+4-2raizx-1

Passo 1

Ei! Vamos resolver esse limite juntos. A questão é calcular o limite de raizx+4-2raizx-1 quando x se aproxima de 2. Isso envolve conhecimentos de limites e radiciação. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalizar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos x = 2 diretamente na expressão:
raiz2+4-2raiz2-1 = raiz6-2raiz2-1
Ambos os numerador e denominador não são zero, então podemos calcular o limite diretamente substituindo x = 2.

Passo 3

No entanto, para tornar o cálculo mais exato e evitar aproximações, vamos racionalizar o numerador e o denominador. Isso significa multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado deles.
Primeiro, racionalizamos o numerador multiplicando por raizx+4+2raizx+4+2:
raizx+4-2raizx-1 times raizx+4+2raizx+4+2 = (raizx+4)^2 - 2^2(raizx-1)(raizx+4+2)
Isso simplifica para:
x + 4 - 4(raizx-1)(raizx+4+2) = x(raizx-1)(raizx+4+2)

Passo 4

Agora, vamos racionalizar o denominador multiplicando por raizx+1raizx+1:
x(raizx-1)(raizx+4+2) times raizx+1raizx+1 = x(raizx+1)(raizx)^2 - 1^2)(raizx+4+2)
Simplificando o denominador:
(raizx)^2 - 1 = x - 1
Então, temos:
x(raizx+1)(x - 1)(raizx+4+2)

Passo 5

Agora, podemos substituir x = 2 na expressão simplificada:
2(raiz2+1)(2 - 1)(raiz2+4+2) = 2(raiz2+1)1 times (raiz6+2)

Passo 6

Por fim, calculamos os valores das raízes:
2(raiz2+1)raiz6+2
Esse é o valor exato do limite.

Resposta

lim x 2 raizx+4-2raizx-1 = 2(raiz2+1)raiz6+2

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