Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de x_0
sen(x) em torno de 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função em torno de . Para isso, a gente vai precisar entender o que é uma série de Taylor, como calcular derivadas, e montar o polinômio usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de é dado por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função até a quinta ordem:

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 5 para em torno de 0 é:

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