Resolva as integrais: integral (t^5+2 t)raizt^6+6 t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício é para calcular a integral de em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que no denominador temos raizt^6 + 6t^2 = raizt^2(t^4 + 6) = traizt^4 + 6 . Podemos fatorar integral t^5 + 2ttraizt^4 + 6 , dt = integral t^4 + 2raizt^4 + 6 , dt dessa expressão:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a fração:
t^4 + 2raizt^4 + 6 = t^4 + 6 - 4raizt^4 + 6 = t^4 + 6raizt^4 + 6 - 4raizt^4 + 6 = raizt^4 + 6 - 4raizt^4 + 6
Então, a integral se divide em duas partes:
integral raizt^4 + 6 , dt - 4integral 1raizt^4 + 6 , dt

Passo 4

Agora, vamos focar na primeira parte da integral: u = t^6 + 6t^2 . Para resolver isso, faremos uma substituição. Vamos definir:
dudt = 6t^5 + 12t
Então, a derivada de t^5 + 2t = 13(6t^5 + 12t) = 13dudt em relação a é:
Observamos que o numerador da nossa integral original é , que é um terço da derivada de :

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral usando a substituição feita:
integral t^5 + 2traizt^6 + 6t^2 , dt = 13 integral duraizu = 13 integral u^-1/2 , du

Passo 6

Integrando 13 integral u^-1/2 , du = 13 cdot 2u^1/2 + C = 23raizu + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos 23raizu + C = 23raizt^6 + 6t^2 + C de volta para termos em :

Resposta

A integral de 23raizt^6 + 6t^2 + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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