Responda as seguintes questões:
(a) y1(x) = x e y2(x) = x^2 são soluções fundamentais da EDO x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 0, x > 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pergunta se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por para . A matéria aqui envolve EDOs de segunda ordem e soluções fundamentais, que são soluções que são linearmente independentes e formam a solução geral da equação. Para resolver, vamos verificar se cada função satisfaz a EDO e se elas são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular as derivadas da função e substituir na equação.

Passo 3

Calculando as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos , e na EDO:
Como a equação é satisfeita, é uma solução da EDO.

Passo 5

Vamos repetir o processo para . Calculamos as derivadas:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo na EDO:
Também aqui, a equação é satisfeita, então é uma solução da EDO.

Passo 7

Agora, para verificar se essas soluções são fundamentais, precisamos checar se elas são linearmente independentes. Para isso, usamos o Wronskiano, que é dado por:
Calculando:
Como para , as soluções são linearmente independentes.

Resposta

Sim, as funções e são soluções fundamentais da EDO para .

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