Responda as seguintes questões:
(a) e são soluções fundamentais da EDO ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pergunta se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por para . A matéria aqui envolve EDOs de segunda ordem e soluções fundamentais, que são soluções que são linearmente independentes e formam a solução geral da equação. Para resolver, vamos verificar se cada função satisfaz a EDO e se elas são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular as derivadas da função e substituir na equação.
Passo 3
Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos , e na EDO:
Como a equação é satisfeita, é uma solução da EDO.
Passo 5
Vamos repetir o processo para . Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo na EDO:
Também aqui, a equação é satisfeita, então é uma solução da EDO.
Passo 7
Agora, para verificar se essas soluções são fundamentais, precisamos checar se elas são linearmente independentes. Para isso, usamos o Wronskiano, que é dado por:
Calculando:
Como para , as soluções são linearmente independentes.
Resposta
Sim, as funções e são soluções fundamentais da EDO para .