Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em torno de dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno de . Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio quadrático (com termos até ) perto desse ponto. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor e como calcular derivadas de função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar uma função suave usando polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de é:
Como nosso ponto , a fórmula simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular cada termo necessário:
  1. Valor da função em :
  1. Primeira derivada de :
Vamos derivar :
Agora, avaliando em :
  1. Segunda derivada de :
Vamos derivar :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, avaliando em :

Passo 4

Agora que temos todos os valores, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 2:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno de é:

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Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: