Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em torno de
dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno de
. Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio quadrático (com termos até
) perto desse ponto. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor e como calcular derivadas de função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar uma função suave usando polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
é:
Como nosso ponto
, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular cada termo necessário:
- Valor da função em
:
- Primeira derivada de
:
Vamos derivar
:
Agora, avaliando em
:
- Segunda derivada de
:
Vamos derivar
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, avaliando em
:
Passo 4
Agora que temos todos os valores, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 2:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Derive.
Derive.
Derive.
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: