i) encontre o vetor gradiente genérico; ii) calcule o gradiente no ponto
; iii) calcule a taxa de variação de
em
na direção de u. (Repare nas formas diferentes de se apresentar o vetor
.)
é o vetor na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular o vetor gradiente de uma função, avaliá-lo em um ponto específico e depois encontrar a taxa de variação da função nessa direção. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo multivariável, mais especificamente o conceito de gradiente e derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas parciais, montar o vetor gradiente e calcular a direção da taxa de variação usando vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente genérico da função
. O vetor gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada parcial em relação a x:
- Derivada parcial em relação a y:
Então, o vetor gradiente genérico fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
. Basta substituir
e
na expressão que encontramos para o gradiente:
Sabemos que
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
, que está na direção de
. Primeiro, precisamos expressar esse vetor
como um vetor unitário.
Um vetor na direção de
pode ser escrito como:
Substituindo
:
A taxa de variação de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com o vetor
:
Já sabemos que
e
. Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial:
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Para
, determine a direção em que a taxa de variação no ponto
seja máxima e calcule esta taxa.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 3, no ponto
e
da função
.