i) encontre o vetor gradiente genérico; ii) calcule o gradiente no ponto P; iii) calcule a taxa de variação de f em P na direção de u. (Repare nas formas diferentes de se apresentar o vetor u.)
f(x, y) = e^x cos(y) ; P = (0, 0) ; u é o vetor na direção de theta = pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular o vetor gradiente de uma função, avaliá-lo em um ponto específico e depois encontrar a taxa de variação da função nessa direção. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo multivariável, mais especificamente o conceito de gradiente e derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas parciais, montar o vetor gradiente e calcular a direção da taxa de variação usando vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente genérico da função . O vetor gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada parcial em relação a x:
  1. Derivada parcial em relação a y:
Então, o vetor gradiente genérico fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico . Basta substituir e na expressão que encontramos para o gradiente:
Sabemos que , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a taxa de variação de no ponto na direção do vetor , que está na direção de . Primeiro, precisamos expressar esse vetor como um vetor unitário.
Um vetor na direção de pode ser escrito como:
Substituindo :
A taxa de variação de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor :
Já sabemos que e . Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção de é igual a .

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