Estude os valores extremos das seguintes funções: f(x, y) = x + y com restrição g(x, y) = 0, onde g(x, y) = x^2 + y^2 - 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores extremos da função com uma restrição dada por . Isso significa que queremos saber quais são os maiores e menores valores que pode assumir quando está sobre o círculo unitário . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os valores extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto de extremo, o gradiente da função que queremos otimizar ( ) seja paralelo ao gradiente da função restritiva ( ). Matematicamente, isso é expresso como:
onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das funções e :
De acordo com o método, temos:
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações. Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para :
Então, sabemos que . Agora, vamos usar a restrição :
Como , substituímos:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de nesses pontos:
  1. Para e :
  1. Para e :

Resposta

Os valores extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo: no ponto
  • Mínimo: no ponto

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