Estude os valores extremos das seguintes funções:
com restrição
, onde
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores extremos da função
com uma restrição dada por
. Isso significa que queremos saber quais são os maiores e menores valores que
pode assumir quando
está sobre o círculo unitário
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os valores extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto de extremo, o gradiente da função que queremos otimizar (
) seja paralelo ao gradiente da função restritiva (
). Matematicamente, isso é expresso como:
onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções
e
:
De acordo com o método, temos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações. Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para
:
Então, sabemos que
. Agora, vamos usar a restrição
:
Como
, substituímos:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
nesses pontos:
- Para
e :
- Para
e :
Resposta
Os valores extremos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo:
no ponto - Mínimo:
no ponto