Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções:
em torno do ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 da função
em torno do ponto
. Isso está dentro do ramo do cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para aproximar funções próximo a um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Taylor para funções de duas variáveis. Basicamente, é uma maneira de aproximar a função usando uma série polinomial baseada nas derivadas da função no ponto de interesse. Para a ordem 1 e 2, o polinômio de Taylor fica assim:
Para ordem 1:
Para ordem 2:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de primeira ordem, e
,
,
são as de segunda ordem.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem no ponto
.
Primeira derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos às derivadas de segunda ordem no ponto
.
Segunda derivada em relação a
:
Derivada mista:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 6
Com todas as derivadas calculadas, podemos montar os polinômios de Taylor.
Para a ordem 1:
Para a ordem 2:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 1 é
e, como as derivadas de segunda ordem são zero, o polinômio de ordem 2 também é
.