Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções: f(x, y) = sen(x) cos(y) em torno do ponto (0, pi);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 da função em torno do ponto . Isso está dentro do ramo do cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para aproximar funções próximo a um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Taylor para funções de duas variáveis. Basicamente, é uma maneira de aproximar a função usando uma série polinomial baseada nas derivadas da função no ponto de interesse. Para a ordem 1 e 2, o polinômio de Taylor fica assim:
Para ordem 1:
Para ordem 2:
Aqui, e são as derivadas parciais de primeira ordem, e , , são as de segunda ordem.

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem no ponto .
Primeira derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos às derivadas de segunda ordem no ponto .
Segunda derivada em relação a :
Derivada mista:
Segunda derivada em relação a :

Passo 6

Com todas as derivadas calculadas, podemos montar os polinômios de Taylor.
Para a ordem 1:
Para a ordem 2:
Substituindo os valores:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 1 é e, como as derivadas de segunda ordem são zero, o polinômio de ordem 2 também é .

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