Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções: f(x, y) = sen(x - y) em torno do ponto (pi / 2, 0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 para a função em torno do ponto . Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio que leva em conta os valores da função e suas derivadas até a segunda ordem nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples. Para duas variáveis, como no nosso caso, o polinômio de Taylor de ordem 1 inclui os termos até as primeiras derivadas, e o de ordem 2 inclui também as segundas derivadas.

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto :

Passo 4

Agora, precisamos das derivadas parciais de . Vamos calcular as primeiras:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Avaliaremos essas no ponto :

Passo 5

Para o polinômio de ordem 1, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, o polinômio de Taylor de ordem 1 é simplesmente 1.

Passo 6

Agora, vamos calcular as segundas derivadas necessárias para o polinômio de ordem 2:
Segunda derivada em relação a :
Segunda derivada mista:
Segunda derivada em relação a :
Avaliaremos essas no ponto :

Passo 7

Com todas as derivadas, o polinômio de Taylor de ordem 2 é dado por:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 1 é e o polinômio de Taylor de ordem 2 é:

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