Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções:
em torno do ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o polinômio de Taylor de ordem 1 e ordem 2 para a função
em torno do ponto
. Básicamente, o polinômio de Taylor aproxima a função perto de um ponto específico usando suas derivadas. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 1, que é a aproximação linear da função perto do ponto dado. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem 1 para funções de duas variáveis é:
Aqui,
é o ponto em torno do qual estamos expandindo. Vamos calcular cada termo:
- Valor da função no ponto (1, 2):
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto (1, 2):
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto (1, 2):
Agora, substituindo na fórmula do
:
Passo 3
Agora vamos calcular o polinômio de Taylor de ordem 2, que inclui as derivadas de segunda ordem para uma aproximação mais precisa. A fórmula geral é:
Vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
- Segunda derivada parcial em relação a
:
No ponto (1, 2):
- Derivada mista:
No ponto (1, 2):
- Segunda derivada parcial em relação a
:
No ponto (1, 2):
Agora, substituindo na fórmula do
:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 1 é:
E o polinômio de Taylor de ordem 2 é: