Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções: f(x, y) = e^(x + y) em torno do ponto 1,2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o polinômio de Taylor de ordem 1 e ordem 2 para a função em torno do ponto . Básicamente, o polinômio de Taylor aproxima a função perto de um ponto específico usando suas derivadas. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 1, que é a aproximação linear da função perto do ponto dado. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem 1 para funções de duas variáveis é:
Aqui, é o ponto em torno do qual estamos expandindo. Vamos calcular cada termo:
  1. Valor da função no ponto (1, 2):
  1. Derivada parcial em relação a :
No ponto (1, 2):
  1. Derivada parcial em relação a :
No ponto (1, 2):
Agora, substituindo na fórmula do :

Passo 3

Agora vamos calcular o polinômio de Taylor de ordem 2, que inclui as derivadas de segunda ordem para uma aproximação mais precisa. A fórmula geral é:
Vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
  1. Segunda derivada parcial em relação a :
No ponto (1, 2):
  1. Derivada mista:
No ponto (1, 2):
  1. Segunda derivada parcial em relação a :
No ponto (1, 2):
Agora, substituindo na fórmula do :

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 1 é:
E o polinômio de Taylor de ordem 2 é:

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