Estude os valores extremos das seguintes funções:
com restrição
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar os valores extremos da função
com a restrição
. Isso significa que queremos encontrar os pontos onde a função atinge seus máximos e mínimos, mas só considerando os pontos que estão sobre o círculo de raio 3 (já que
descreve um círculo). Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são valores extremos. Em funções de várias variáveis, valores extremos (máximos e mínimos) são os pontos onde a função atinge seus maiores ou menores valores dentro de um certo domínio. Nesse caso, nosso domínio é o círculo
.
Passo 3
Agora, vamos configurar o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é combinar nossa função
com a restrição
usando um multiplicador, que chamaremos de
. A função de Lagrange fica assim:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeira derivada parcial com relação a
:
Segunda derivada parcial com relação a
:
Terceira derivada parcial com relação a
:
Passo 5
Vamos agora resolver o sistema de equações obtido:
-
→ -
→ -
Da primeira equação, temos duas possibilidades:
-
-
→
Da segunda equação:
Vamos analisar as combinações:
Caso 1:
- A terceira equação fica
→ - Da segunda equação
, como ,
Caso 2:
e
→
→
- Substituindo
na terceira equação:
Passo 6
Agora, temos os pontos candidatos para valores extremos:
Vamos calcular o valor de
em cada ponto:
Resposta
Os valores extremos da função
restrita ao círculo
são:
-
Máximos locais em
e com valor . -
Mínimos locais em
com valor aproximado .