Estude os valores extremos das seguintes funções: f(x, y) = 2*x^3 + y^2 com restrição x^2 + y^2 - 9;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar os valores extremos da função com a restrição . Isso significa que queremos encontrar os pontos onde a função atinge seus máximos e mínimos, mas só considerando os pontos que estão sobre o círculo de raio 3 (já que descreve um círculo). Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são valores extremos. Em funções de várias variáveis, valores extremos (máximos e mínimos) são os pontos onde a função atinge seus maiores ou menores valores dentro de um certo domínio. Nesse caso, nosso domínio é o círculo .

Passo 3

Agora, vamos configurar o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é combinar nossa função com a restrição usando um multiplicador, que chamaremos de . A função de Lagrange fica assim:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeira derivada parcial com relação a :
Segunda derivada parcial com relação a :
Terceira derivada parcial com relação a :

Passo 5

Vamos agora resolver o sistema de equações obtido:
Da primeira equação, temos duas possibilidades:
Da segunda equação:
Vamos analisar as combinações:
Caso 1:
  • A terceira equação fica
  • Da segunda equação , como ,
Caso 2: e
  • Substituindo na terceira equação:

Passo 6

Agora, temos os pontos candidatos para valores extremos:
Vamos calcular o valor de em cada ponto:

Resposta

Os valores extremos da função restrita ao círculo são:
  • Máximos locais em e com valor .
  • Mínimos locais em com valor aproximado .

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