Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
no ponto
Para tanto
a) calcule o vetor gradiente ;
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva
P2(x, y)=P1(x, y)+12!(x-x0 y-y0) cdot H f(x0, y0) cdotbinomx-x0y-y0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta perto desse ponto usando derivadas parciais e matrizes. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função, a matriz Hessiana e montar os polinômios de Taylor usando essas informações.
Passo 2
a) Calculando o vetor gradiente nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
O gradiente de uma função partial fpartial x = partialpartial x ( x^3 - 3x + 3y^2 + 2y - 4 ) = 3x^2 - 3 é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Derivada parcial em relação a partial fpartial x(0, 2) = 3(0)^2 - 3 = -3 :
partial fpartial y(0, 2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14
Derivada parcial em relação a nabla f(0, 2) = (-3, 14) :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Portanto, o vetor gradiente no ponto é:
Passo 3
b) Escrevendo o polinômio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) = f(x0, y0) + nabla f(x0, y0) cdot (x - x0, y - y0)
O polinômio de Taylor de primeira ordem aproxima a função f(0, 2) = (0)^3 - 3(0) + 3(2)^2 + 2(2) - 4 = 0 - 0 + 12 + 4 - 4 = 12 perto do ponto (x - x0, y - y0) = (x, y - 2) usando a seguinte fórmula:
Valor da função no ponto P1(x, y) = 12 + (-3x + 14(y - 2)) = 12 - 3x + 14y - 28 = -3x + 14y - 16 :
Vetor :
Como , temos:
Produto escalar do gradiente com :
Agora, substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de primeira ordem:
Passo 4
c) Determinando a matriz Hessiana Hf(x, y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2
A matriz Hessiana é uma matriz quadrada que contém todas as segundas derivadas parciais de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( partial fpartial x ) = partialpartial x (3x^2 - 3) = 6x . Ela nos ajuda a entender a curvatura da função. A matriz Hessiana para nossa função é:
partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y ( partial fpartial x ) = partialpartial y (3x^2 - 3) = 0
Vamos calcular cada segunda derivada parcial:
Segunda derivada parcial em relação a partial^2 fpartial y partial x = partialpartial x ( partial fpartial y ) = partialpartial x (6y + 2) = 0 :
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( partial fpartial y ) = partialpartial y (6y + 2) = 6