Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) e de segunda ordem P2(x, y) da função
f(x, y)=x^3-3 x+3 y^2+2 y-4
no ponto (x0, y0)=(0,2)
Para tanto
a) calcule o vetor gradiente nabla f(x0, y0);
b) escreva
P1(x, y)=f(x0, y0)+nabla f(x0, y0) cdot(x-x0, y-y0)
c) determine a matriz hessiana
H f(x0, y0)=(cc partial^2 fpartial x^2(x0, y0) & partial^2 fpartial x partial y(x0, y0) partial^2 fpartial y partial x(x0, y0) & partial^2 fpartial y^2(x0, y0) )
e) escreva
P2(x, y)=P1(x, y)+12!(x-x0 y-y0) cdot H f(x0, y0) cdotbinomx-x0y-y0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta perto desse ponto usando derivadas parciais e matrizes. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função, a matriz Hessiana e montar os polinômios de Taylor usando essas informações.

Passo 2

a) Calculando o vetor gradiente nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
O gradiente de uma função partial fpartial x = partialpartial x ( x^3 - 3x + 3y^2 + 2y - 4 ) = 3x^2 - 3 é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
partial fpartial y = partialpartial y ( x^3 - 3x + 3y^2 + 2y - 4 ) = 6y + 2
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a partial fpartial x(0, 2) = 3(0)^2 - 3 = -3 :
partial fpartial y(0, 2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14
  1. Derivada parcial em relação a nabla f(0, 2) = (-3, 14) :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Portanto, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 3

b) Escrevendo o polinômio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) = f(x0, y0) + nabla f(x0, y0) cdot (x - x0, y - y0)
O polinômio de Taylor de primeira ordem aproxima a função f(0, 2) = (0)^3 - 3(0) + 3(2)^2 + 2(2) - 4 = 0 - 0 + 12 + 4 - 4 = 12 perto do ponto (x - x0, y - y0) = (x, y - 2) usando a seguinte fórmula:
nabla f(0, 2) cdot (x, y - 2) = (-3) cdot x + 14 cdot (y - 2) = -3x + 14(y - 2)
Vamos calcular cada parte:
  1. Valor da função no ponto P1(x, y) = 12 + (-3x + 14(y - 2)) = 12 - 3x + 14y - 28 = -3x + 14y - 16 :
  1. Vetor :
Como , temos:
  1. Produto escalar do gradiente com :
Agora, substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de primeira ordem:

Passo 4

c) Determinando a matriz Hessiana Hf(x, y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2
A matriz Hessiana é uma matriz quadrada que contém todas as segundas derivadas parciais de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( partial fpartial x ) = partialpartial x (3x^2 - 3) = 6x . Ela nos ajuda a entender a curvatura da função. A matriz Hessiana para nossa função é:
partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y ( partial fpartial x ) = partialpartial y (3x^2 - 3) = 0
Vamos calcular cada segunda derivada parcial:
  1. Segunda derivada parcial em relação a partial^2 fpartial y partial x = partialpartial x ( partial fpartial y ) = partialpartial x (6y + 2) = 0 :
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( partial fpartial y ) = partialpartial y (6y + 2) = 6
  1. Segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial x^2(0, 2) = 6(0) = 0 :
partial^2 fpartial x partial y(0, 2) = 0
  1. Segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial y partial x(0, 2) = 0 :
partial^2 fpartial y^2(0, 2) = 6
  1. Segunda derivada parcial em relação a Hf(0, 2) = 0 & 0 0 & 6 :
Agora, avaliando cada uma no ponto :
Portanto, a matriz Hessiana no ponto é:

Passo 5

e) Escrevendo o polinômio de Taylor de segunda ordem P2(x, y) = P1(x, y) + 12! x - x0 & y - y0 Hf(x0, y0) x - x0 y - y0
O polinômio de Taylor de segunda ordem adiciona uma aproximação da curvatura da função usando a matriz Hessiana. A fórmula é:
12! = 12
Vamos calcular cada parte:
  1. Fator x - x0 y - y0 :
x - 0 y - 2 = x y - 2
  1. Vetor Hf(0, 2) x y - 2 = 0 & 0 0 & 6 x y - 2 = 0 cdot x + 0 cdot (y - 2) 0 cdot x + 6 cdot (y - 2) = 0 6(y - 2) :
Como x & y - 2 , temos:
x & y - 2 0 6(y - 2) = x cdot 0 + (y - 2) cdot 6(y - 2) = 6(y - 2)^2
  1. Produto matriz-vetor:
Multiplicando a matriz Hessiana pelo vetor:
P2(x, y) = P1(x, y) + 12 cdot 6(y - 2)^2 = (-3x + 14y - 16) + 3(y - 2)^2
  1. Produto escalar com o vetor P2(x, y) = -3x + 14y - 16 + 3(y^2 - 4y + 4) = -3x + 14y - 16 + 3y^2 - 12y + 12 = 3y^2 + (-3x + 2y) - 4 :
Agora, substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem:
Podemos deixar assim ou expandir:

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
P1(x, y) = -3x + 14y - 16
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é:
P2(x, y) = 3y^2 - 3x + 2y - 4

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