Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
no ponto
Para tanto
a) calcule o vetor gradiente ;
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta perto desse ponto usando derivadas parciais e matrizes. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função, a matriz Hessiana e montar os polinômios de Taylor usando essas informações.

Passo 2

a) Calculando o vetor gradiente
O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Portanto, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 3

b) Escrevendo o polinômio de Taylor de primeira ordem
O polinômio de Taylor de primeira ordem aproxima a função perto do ponto usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada parte:
  1. Valor da função no ponto :
  1. Vetor :
Como , temos:
  1. Produto escalar do gradiente com :
Agora, substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de primeira ordem:

Passo 4

c) Determinando a matriz Hessiana
A matriz Hessiana é uma matriz quadrada que contém todas as segundas derivadas parciais de . Ela nos ajuda a entender a curvatura da função. A matriz Hessiana para nossa função é:
Vamos calcular cada segunda derivada parcial:
  1. Segunda derivada parcial em relação a :
  1. Segunda derivada parcial mista :
  1. Segunda derivada parcial mista :
  1. Segunda derivada parcial em relação a :
Agora, avaliando cada uma no ponto :
Portanto, a matriz Hessiana no ponto é:

Passo 5

e) Escrevendo o polinômio de Taylor de segunda ordem
O polinômio de Taylor de segunda ordem adiciona uma aproximação da curvatura da função usando a matriz Hessiana. A fórmula é:
Vamos calcular cada parte:
  1. Fator :
  1. Vetor :
Como , temos:
  1. Produto matriz-vetor:
Multiplicando a matriz Hessiana pelo vetor:
  1. Produto escalar com o vetor :
Agora, substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem:
Podemos deixar assim ou expandir:

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é:

Exercícios relacionados

Determine o polinômio de Taylor de segunda ordem da função em no ponto .
A)
B)
C)
O
D)
O
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
em
A)
О в)
○ c)
O D)
О E)