Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
no ponto
Para tanto
a) calcule o vetor gradiente ;
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta perto desse ponto usando derivadas parciais e matrizes. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função, a matriz Hessiana e montar os polinômios de Taylor usando essas informações.
Passo 2
a) Calculando o vetor gradiente
O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Portanto, o vetor gradiente no ponto é:
Passo 3
b) Escrevendo o polinômio de Taylor de primeira ordem
O polinômio de Taylor de primeira ordem aproxima a função perto do ponto usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada parte:
Valor da função no ponto :
Vetor :
Como , temos:
Produto escalar do gradiente com :
Agora, substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de primeira ordem:
Passo 4
c) Determinando a matriz Hessiana
A matriz Hessiana é uma matriz quadrada que contém todas as segundas derivadas parciais de . Ela nos ajuda a entender a curvatura da função. A matriz Hessiana para nossa função é:
Vamos calcular cada segunda derivada parcial:
Segunda derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial mista :
Segunda derivada parcial mista :
Segunda derivada parcial em relação a :
Agora, avaliando cada uma no ponto :
Portanto, a matriz Hessiana no ponto é:
Passo 5
e) Escrevendo o polinômio de Taylor de segunda ordem
O polinômio de Taylor de segunda ordem adiciona uma aproximação da curvatura da função usando a matriz Hessiana. A fórmula é:
Vamos calcular cada parte:
Fator :
Vetor :
Como , temos:
Produto matriz-vetor:
Multiplicando a matriz Hessiana pelo vetor:
Produto escalar com o vetor :
Agora, substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem: