Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
em
A)
О в)
○ c)
O D)
О E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de Polinômio de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções suaves por polinômios, facilitando o cálculo e a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Polinômio de Taylor de primeira ordem. Esse polinômio aproxima a função usando somente os termos constantes e lineares (ou seja, sem termos quadráticos ou de ordem superior). Para encontrá-lo, precisamos calcular o valor da função e suas derivadas parciais em .
Passo 3
Vamos calcular o valor da função no ponto dado:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com esses valores, o polinômio de Taylor de primeira ordem fica:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos para o Polinômio de Taylor de segunda ordem. Esse polinômio inclui os termos quadráticos, proporcionando uma aproximação mais precisa da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 7
As derivadas parciais de segunda ordem são:
Além disso, as derivadas cruzadas (como ) são todas zero, já que a função não tem termos mistos.
Passo 8
Com isso, o polinômio de Taylor de segunda ordem é:
Substituindo os valores:
No entanto, observando a função original , percebemos que:
Portanto, o polinômio de segunda ordem realmente se iguala à função original: