Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - 5)^2
em (0, 0, 0)
A) P1(x, y, z) = 25 - 10 z
P2(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - 5)^2
О в) P1(x, y, z) = 25 - 10 z
P2(x, y, z) = 1 + 5x + (1/2)(5x^2 + 7y^2)
○ c) P1(x, y, z) = 25 - z
P2(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - 5)^2
O D) P1(x, y, z) = 25 + 10 z
P2(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - 5)^2
О E) P1(x, y, z) = 25 - 10 z
P2^e(x, y, z) = 1 - 5x + (5x^2 - 7y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de Polinômio de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções suaves por polinômios, facilitando o cálculo e a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Polinômio de Taylor de primeira ordem. Esse polinômio aproxima a função usando somente os termos constantes e lineares (ou seja, sem termos quadráticos ou de ordem superior). Para encontrá-lo, precisamos calcular o valor da função e suas derivadas parciais em .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função no ponto dado:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com esses valores, o polinômio de Taylor de primeira ordem fica:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos para o Polinômio de Taylor de segunda ordem. Esse polinômio inclui os termos quadráticos, proporcionando uma aproximação mais precisa da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 7

As derivadas parciais de segunda ordem são:
Além disso, as derivadas cruzadas (como ) são todas zero, já que a função não tem termos mistos.

Passo 8

Com isso, o polinômio de Taylor de segunda ordem é:
Substituindo os valores:
No entanto, observando a função original , percebemos que:
Portanto, o polinômio de segunda ordem realmente se iguala à função original:

Resposta

A resposta correta é a opção A:

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