Determine o polinômio de Taylor de segunda ordem da função f(x, y) = e^(2 x) cos(5 y) em no ponto (0,0).
A) P2(x, y) = 1 + x + (1/2) * (2*x^2 - 5*y^2)
B) P2(x, y) = 1 + 2x + 5y + 1/2(4x^2 - 25y^2)
C) P2(x, y) = 1 - 2x + (2x^2 - 5y^2)
O
D) P2(x, y) = 1 + 2x + (1/2)(4x^2 - 25y^2)
O
P2(x, y) = 1 + 2x + (1/2)(4x^2 + 25y^2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de polinômio de Taylor de segunda ordem para a função no ponto . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de até a segunda ordem e usá-las na fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função de duas variáveis em torno do ponto :
Como estamos calculando em , a fórmula simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. Valor da função em :
  1. Primeiras derivadas parciais:
  1. Segundas derivadas parciais:

Passo 4

Agora, substituímos todos os valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:

Passo 5

Vamos comparar com as alternativas fornecidas:
A)
B)
C)
D)
E)
A nossa expressão corresponde à opção D.

Resposta

D)

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