Escreva a matriz Hessiana para a função
f(x, y)=x^3-3 x y+y^3
em no ponto (1,1).
Dica:
H f(1,1)=(cc partial^2 fpartial x^2(1,1) & partial^2 fpartial x partial y(1,1) partial^2 fpartial y partial x(1,1) & partial^2 fpartial y^2(1,1) )
O
A) H f(1,1)=(cc-3 & 3 3 & -3)
O
B) H f(1,1)=(ll6 & 3 3 & 6)
O
C) H f(1,1)=(cc6 & -3 -3 & 6)
O
D) H f(1,1)=(cc3 & -3 -3 & 3)
O
E) H f(1,1)=(cc-3 & 6 6 & -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a matriz Hessiana da função no ponto . A matéria que estamos usando aqui é o cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais de segunda ordem. Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e depois montar a matriz Hessiana usando esses valores no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz Hessiana de uma função de duas variáveis é uma matriz quadrada 2x2 que contém todas as segundas derivadas parciais da função. Para a função Hf(x, y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 , a matriz Hessiana é dada por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas segundas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de partial fpartial x = 3x^2 - 3y em relação a partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(3x^2 - 3y) = 6x :
Agora, derivamos novamente em relação a para obter :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = -3x + 3y^2 em relação a partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(-3x + 3y^2) = 6y :
Derivando novamente em relação a para obter :

Passo 5

Agora, precisamos das derivadas cruzadas. Vamos calcular partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y(3x^2 - 3y) = -3 .
Primeiro, já temos . Agora, derivamos isso em relação a :
De maneira similar, a derivada cruzada será igual a , já que as derivadas parciais de segunda ordem são iguais (teorema de Schwarz).

Passo 6

Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos montar a matriz Hessiana:
Hf(x, y) = 6x & -3 -3 & 6y

Passo 7

Finalmente, vamos avaliar a matriz Hessiana no ponto Hf(1, 1) = 6 times 1 & -3 -3 & 6 times 1 = 6 & -3 -3 & 6 . Substituindo e :

Resposta

A matriz Hessiana no ponto Hf(1,1)=6 & -3 -3 & 6 é:
Portanto, a opção correta é a C).

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