Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
no ponto .
Para tanto:
a) calcule vetor gradiente ;
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre o polinômio de Taylor para a função no ponto . A matéria que vamos usar é o polinômio de Taylor, que aproxima funções por polinômios usando derivadas. Precisamos calcular o vetor gradiente, a matriz Hessiana e montar os polinômios de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo:
Esse valor será usado no polinômio de Taylor.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
No ponto :
Então, o vetor gradiente é:
Passo 4
Com o valor da função e o gradiente, podemos escrever o polinômio de Taylor de primeira ordem :
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar a matriz Hessiana , que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
No ponto :
Então, a matriz Hessiana é:
Passo 6
Com a matriz Hessiana, vamos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem :