Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) e de segunda ordem P2(x, y) da função
f(x, y)=x^3+7 x y+4
no ponto (x0, y0)=(0,3).

Para tanto:

a) calcule o vetor gradiente nabla f(x0, y0);
b) escreva
P1(x, y)=f(x0, y0)+nabla f(x0, y0) cdot(x-x0, y-y0)
c) determine a matriz hessiana
H f(x0, y0)=(cc partial^2 fpartial x^2(x0, y0) & partial^2 fpartial x partial y(x0, y0) partial^2 fpartial y partial x(x0, y0) & partial^2 fpartial y^2(x0, y0) )
e) escreva
P2(x, y)=P1(x, y)+12!(x-x0 y-y0) cdot H f(x0, y0) cdotbinomx-x0y-y0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre o polinômio de Taylor para a função no ponto . A matéria que vamos usar é o polinômio de Taylor, que aproxima funções por polinômios usando derivadas. Precisamos calcular o vetor gradiente, a matriz Hessiana e montar os polinômios de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto f(0, 3) = (0)^3 + 7 times 0 times 3 + 4 = 4 . Substituindo:
Esse valor será usado no polinômio de Taylor.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor gradiente partial fpartial x = 3x^2 + 7y partial fpartial y = 7x . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de partial fpartial x(0, 3) = 3(0)^2 + 7 times 3 = 21 partial fpartial y(0, 3) = 7 times 0 = 0 em relação a nabla f(0, 3) = (21, 0) e :
No ponto :
Então, o vetor gradiente é:

Passo 4

Com o valor da função e o gradiente, podemos escrever o polinômio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) = f(0, 3) + nabla f(0, 3) cdot (x - 0, y - 3) :
P1(x, y) = 4 + (21, 0) cdot (x, y - 3) = 4 + 21x
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar a matriz Hessiana Hf(x, y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 , que é a matriz das segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 = 6x partial^2 fpartial x partial y = 7 partial^2 fpartial y partial x = 7 partial^2 fpartial y^2 = 0
Calculando as derivadas:
partial^2 fpartial x^2(0, 3) = 0 partial^2 fpartial x partial y(0, 3) = 7 partial^2 fpartial y partial x(0, 3) = 7 partial^2 fpartial y^2(0, 3) = 0
No ponto Hf(0, 3) = 0 & 7 7 & 0 :
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 6

Com a matriz Hessiana, vamos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem P2(x, y) = P1(x, y) + 12 (x, y - 3) cdot Hf(0, 3) cdot x y - 3 :
(x, y - 3) cdot 0 & 7 7 & 0 cdot x y - 3 = 0 times x^2 + 7x(y - 3) + 7(y - 3)x + 0 times (y - 3)^2 = 14x(y - 3)
Calculando o produto:
P2(x, y) = 4 + 21x + 12 times 14x(y - 3) = 4 + 21x + 7x(y - 3)
Então:

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
P1(x, y) = 4 + 21x
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é:
P2(x, y) = 4 + 21x + 7x(y - 3)

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