Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
no ponto .
Para tanto:
a) calcule vetor gradiente ;
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva
P2(x, y)=P1(x, y)+12!(x-x0 y-y0) cdot H f(x0, y0) cdotbinomx-x0y-y0
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre o polinômio de Taylor para a função no ponto . A matéria que vamos usar é o polinômio de Taylor, que aproxima funções por polinômios usando derivadas. Precisamos calcular o vetor gradiente, a matriz Hessiana e montar os polinômios de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto f(0, 3) = (0)^3 + 7 times 0 times 3 + 4 = 4 . Substituindo:
Esse valor será usado no polinômio de Taylor.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente partial fpartial x = 3x^2 + 7y partial fpartial y = 7x . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de partial fpartial x(0, 3) = 3(0)^2 + 7 times 3 = 21 partial fpartial y(0, 3) = 7 times 0 = 0 em relação a nabla f(0, 3) = (21, 0) e :
No ponto :
Então, o vetor gradiente é:
Passo 4
Com o valor da função e o gradiente, podemos escrever o polinômio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) = f(0, 3) + nabla f(0, 3) cdot (x - 0, y - 3) :
P1(x, y) = 4 + (21, 0) cdot (x, y - 3) = 4 + 21x
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar a matriz Hessiana Hf(x, y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 , que é a matriz das segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 = 6x partial^2 fpartial x partial y = 7 partial^2 fpartial y partial x = 7 partial^2 fpartial y^2 = 0