Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
no ponto .

Para tanto:

a) calcule vetor gradiente ;
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre o polinômio de Taylor para a função no ponto . A matéria que vamos usar é o polinômio de Taylor, que aproxima funções por polinômios usando derivadas. Precisamos calcular o vetor gradiente, a matriz Hessiana e montar os polinômios de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo:
Esse valor será usado no polinômio de Taylor.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor gradiente . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
No ponto :
Então, o vetor gradiente é:

Passo 4

Com o valor da função e o gradiente, podemos escrever o polinômio de Taylor de primeira ordem :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar a matriz Hessiana , que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
No ponto :
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 6

Com a matriz Hessiana, vamos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem :
Calculando o produto:
Então:

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é:

Exercícios relacionados

Com a mesma função da questão anterior, utilize o método dos trapézios com seis subintervalos para calcular a integral da função no trecho de 0 a 6 , apresente a representação gráfica da área e o valor real da área.
Utilizando os três métodos apresentados em aula, bissesção, falsa posição e NewtonRaphson e com erro , apresente a raiz positiva da função e também a raiz real da função.
Escreva a matriz Hessiana para a função
em no ponto
A)
O
B)
C)

D)
O
E)
Escreva a matriz Hessiana para a função
em no ponto .
Dica:
O
A)
O
B)
O
C)
O
D)
O
E)