Suponha que você está administrando uma fábrica, que produz algum tipo de aparelho que requer aço como matéria-prima. Seus custos são, predominantemente, o trabalho humano, que custa $24 $ $ por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa $160 $ $ por tonelada. Suponha que sua receita
é modelada de maneira ampla pela seguinte equação:
onde
(a)
representa as horas de trabalho
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?
(a)
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que nos foi pedido. Você está gerenciando uma fábrica que usa duas coisas: horas de trabalho (
) que custam $24 por hora e aço (
) que custa $160 por tonelada. A receita da fábrica é dada por
. O orçamento total é de $20.000 e queremos descobrir qual é a receita máxima que você pode alcançar com esse orçamento. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de otimização e funções de produção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a restrição do orçamento. Isso significa que o total gasto com trabalho e aço não pode ultrapassar $20.000. Então, temos:
Essa equação relaciona as horas de trabalho (
) e as toneladas de aço (
) que podemos comprar dentro do orçamento.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função de receita que queremos maximizar:
Para encontrar a receita máxima, precisamos determinar os valores de
e
que maximizam
dentro da restrição orçamentária que estabelecemos.
Passo 4
Para maximizar a função de receita com a restrição de orçamento, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangeana:
Em seguida, derivamos parcialmente em relação a
,
e
, e igualamos a zero para encontrar os valores ótimos.
Passo 5
Resolvendo as derivadas, encontramos as condições de ótimo que nos dão a relação entre
e
. Depois de simplificar, obtemos:
Isso significa que para maximizar a receita, o número de horas de trabalho deve estar em uma proporção de 40 para 9 em relação às toneladas de aço.
Passo 6
Com essa proporção, substituímos de volta na restrição orçamentária para encontrar os valores de
e
:
Substituindo
, resolvemos para
:
Então,
horas.
Resposta
A receita máxima possível é de aproximadamente $3,079,20.