Suponha que você está administrando uma fábrica, que produz algum tipo de aparelho que requer aço como matéria-prima. Seus custos são, predominantemente, o trabalho humano, que custa $24 $ $ por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa $160 $ $ por tonelada. Suponha que sua receita 24 $ é modelada de maneira ampla pela seguinte equação:
por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa
onde
(a) \frac{d}{d x}(\cos(x)) = -\sin(x) d/dx cos(x) = -sen(x) representa as horas de trabalho
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que nos foi pedido. Você está gerenciando uma fábrica que usa duas coisas: horas de trabalho ( h) que custam $24 por hora e aço ( ) que custa $160 por tonelada. A receita da fábrica é dada por . O orçamento total é de $20.000 e queremos descobrir qual é a receita máxima que você pode alcançar com esse orçamento. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de otimização e funções de produção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a restrição do orçamento. Isso significa que o total gasto com trabalho e aço não pode ultrapassar $20.000. Então, temos:
Essa equação relaciona as horas de trabalho ( ) e as toneladas de aço ( ) que podemos comprar dentro do orçamento.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função de receita que queremos maximizar:
Para encontrar a receita máxima, precisamos determinar os valores de h e s que maximizam R dentro da restrição orçamentária que estabelecemos.

Passo 4

Para maximizar a função de receita com a restrição de orçamento, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangeana:
Em seguida, derivamos parcialmente em relação a h, s e lambda, e igualamos a zero para encontrar os valores ótimos.

Passo 5

Resolvendo as derivadas, encontramos as condições de ótimo que nos dão a relação entre h e s. Depois de simplificar, obtemos:
Isso significa que para maximizar a receita, o número de horas de trabalho deve estar em uma proporção de 40 para 9 em relação às toneladas de aço.

Passo 6

Com essa proporção, substituímos de volta na restrição orçamentária para encontrar os valores de h e s:
Substituindo , resolvemos para s:
Então, horas.

Resposta

A receita máxima possível é de aproximadamente $3,079,20.

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Um sistema de reservatórios de gases cuja manipulação apropriada da dinâmica da contenção e fluxo dos gases, isto é, a manipulação do volume e da densidade dos gases, permite a geração de calor, regido pelas equação
T(V-4)+V d^5=T V^2 e^(2-d) T
Estude as derivadas direcionais quando a configuração do reservatórioé de uma densidade d=2 e o volume do gás é de V=4. Estude as derivadas direcionais na configuração inicial:
b) Supondo que a temperatura T possa ser expressa implicitamente como função da densidade d e do volume V, isto é, T=T(d, V), calcule as derivadas parciais
partial Tpartial d(d, V, T)=-partial Fpartial d(d, V, T)partial Fpartial T(d, V, T) e partial Tpartial V(d, V, T)=-partial Fpartial V(d, V, T)partial Fpartial T(d, V, T)
onde F(d, V, T) é determinada pelas equações acima.
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
b) f(x, y) = x^3 - 12 x + y^3 + 3 y^2 - 9 y em (-2, -1);
Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
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Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
b) f(x, y, z) = 8y^2 - 4xz;