Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
a) f(x, y) = x - 2y + ln(raiz(x^2 + y^2)) em -1 / 5, 2 / 5;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função e precisamos encontrar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a definição do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar a função no ponto dado :
Calculando os termos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , avaliadas no ponto .
Primeira derivada parcial em relação a :
Avaliando em :
Primeira derivada parcial em relação a :
Avaliando em :

Passo 4

Para o polinômio de segunda ordem, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Segunda derivada parcial em relação a :
Avaliando em :
Segunda derivada parcial em relação a :
Avaliando em :
Derivada parcial mista :
Avaliando em :

Passo 5

Agora, vamos construir o polinômio de Taylor. A fórmula geral do polinômio de Taylor de segunda ordem para funções de duas variáveis é:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
O polinômio de Taylor de primeira ordem seria apenas os termos lineares:
E o de segunda ordem é o que acabamos de obter.

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é e o polinômio de segunda ordem é

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Um equipamento para produção de oxigênio usa o processo de eletrólise da água e é regida
pela equação
O(T, w) = w^3/3 - 3w^2 + 8w - T^2 + 800T
onde T é a temperatura, medido em graus centigrados, e w é a quantidade de água H2O, medida em
toneladas, usados no processo de eletrólise da água.
Determine as configurações de produção ótima:
ii) Classifique os pontos críticos de O(T, w). Qual é quantidade de água e de calor ideais na produção
de oxigênio? Qual é a quantidade de oxigênio produzido?
Determine o ponto de máximo da função f(x, y, z) = x * y * z, na curva obtida pela intersecção os planos x + y + z = 28 e x - y + z = 8.
Obs: Resolva o sistema definido pelas equações
nabla f(x, y, z) = lambda nabla g(x, y, z) + mu nabla h(x, y, z) g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c