Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
a) em ;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função e precisamos encontrar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a definição do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar a função no ponto dado :
Calculando os termos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , avaliadas no ponto .
Primeira derivada parcial em relação a :
Avaliando em :
Primeira derivada parcial em relação a :
Avaliando em :
Passo 4
Para o polinômio de segunda ordem, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Segunda derivada parcial em relação a :
Avaliando em :
Segunda derivada parcial em relação a :
Avaliando em :
Derivada parcial mista :
Avaliando em :
Passo 5
Agora, vamos construir o polinômio de Taylor. A fórmula geral do polinômio de Taylor de segunda ordem para funções de duas variáveis é:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
O polinômio de Taylor de primeira ordem seria apenas os termos lineares:
E o de segunda ordem é o que acabamos de obter.
Resposta
O polinômio de Taylor de primeira ordem é e o polinômio de segunda ordem é