Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
b) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 3
A derivada parcial de em relação a é:
Fazemos o mesmo para :
E para :
Passo 4
Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Com isso, encontramos que o único ponto crítico da função é .
Passo 6
Agora vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função. Vamos calcular cada elemento da matriz Hessiana :
Calculando cada segunda derivada:
Então, a matriz Hessiana fica:
Passo 7
Para classificar o ponto crítico, analisamos os autovalores da matriz Hessiana:
Se todos os autovalores forem positivos, o ponto é um mínimo.
Se todos forem negativos, é um máximo.
Se houverem autovalores positivos e negativos, é um ponto de sela.
Calculando os autovalores da matriz , observamos que ela possui valores positivos e negativos, indicando que a matriz é indefinida.
Passo 8
Como a matriz Hessiana é indefinida no ponto , concluímos que esse ponto é um ponto de sela. Isso significa que a função não atinge um máximo ou mínimo nesse ponto, mas sim uma combinação de ambas as características ao redor dele.