Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
b) f(x, y, z) = 8y^2 - 4xz;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

A derivada parcial de em relação a é:
Fazemos o mesmo para :
E para :

Passo 4

Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Com isso, encontramos que o único ponto crítico da função é .

Passo 6

Agora vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função. Vamos calcular cada elemento da matriz Hessiana :
Calculando cada segunda derivada:
Então, a matriz Hessiana fica:

Passo 7

Para classificar o ponto crítico, analisamos os autovalores da matriz Hessiana:
  • Se todos os autovalores forem positivos, o ponto é um mínimo.
  • Se todos forem negativos, é um máximo.
  • Se houverem autovalores positivos e negativos, é um ponto de sela.
Calculando os autovalores da matriz , observamos que ela possui valores positivos e negativos, indicando que a matriz é indefinida.

Passo 8

Como a matriz Hessiana é indefinida no ponto , concluímos que esse ponto é um ponto de sela. Isso significa que a função não atinge um máximo ou mínimo nesse ponto, mas sim uma combinação de ambas as características ao redor dele.

Resposta

O único ponto crítico é e ele é um ponto de sela.

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por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa
onde
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(b) srepresenta as toneladas de aço.
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