Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
c) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Além disso, devemos classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e classificação de pontos críticos.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável (x, y, z, w) e igualá-las a zero. Pontos onde todas as derivadas parciais são iguais a zero são chamados de pontos críticos.
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 3
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os valores de x, y, z e w que tornam as derivadas nulas:
Para a última equação, notamos que nunca é zero. Portanto, a única solução possível é .
Passo 4
Com isso, encontramos que o único ponto crítico é .
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, analisamos as derivadas segundas e construímos a matriz Hessiana, que ajuda a determinar a natureza do ponto crítico.
Calculamos as derivadas segundas:
No ponto crítico , essas derivadas se tornam:
A matriz Hessiana no ponto crítico é:
Passo 6
Analisando a matriz Hessiana, percebemos que ela é singular (determinante igual a zero), o que torna o teste da segunda derivada inconclusivo para uma classificação clara. Nesse caso, avaliamos o comportamento da função ao redor do ponto crítico.
Observando a função :
Para valores de y positivos, é positivo, e para y negativos, é negativo. Isso indica que a função pode aumentar ou diminuir dependendo do sinal de y.
As outras variáveis (x, z, w) contribuem de forma positiva ou diminuem a função de maneira que não permitem definir claramente um máximo ou mínimo.
Passo 7
Com base nessa análise, concluímos que o ponto crítico é um ponto de sela, pois a função tem comportamentos opostos nas direções de diferentes variáveis.