( 0,5 pontos) Calcule a área do triângulo de vértices e e determine o seu baricentro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular a área do triângulo que tem os vértices , e , e também para determinar o baricentro desse triângulo. Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar saber as coordenadas dos pontos , e no plano cartesiano.

Passo 2

Vamos supor que as coordenadas dos pontos sejam:
Essas coordenadas nos permitirão aplicar fórmulas para encontrar a área e o baricentro.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a área do triângulo. A fórmula para a área de um triângulo com vértices em coordenadas é:
Á
Essa fórmula é derivada do determinante de uma matriz que representa os pontos do triângulo.

Passo 4

Agora, vamos determinar o baricentro do triângulo, que é o ponto de interseção das medianas. O baricentro é encontrado pela média das coordenadas dos vértices:
Isso significa que as coordenadas do baricentro são a média aritmética das coordenadas dos três vértices.

Resposta

A área do triângulo é dada por:
Á
E o baricentro do triângulo está nas coordenadas:

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( 0,3 pontos) Mostre que os vetores e são L.I.
Determine um ponto , pertencente à reta , equidistante de e .
( 0,4 pontos) calcule o volume do paralelepipedo cujas arestas adjacentes são representantes dos vetores e .
Seja a equação de uma reta que é perpendicular a um plano . Suponha que o ponto pertença a . Seja uma reta paralela a , concorrente a e que também contém . Determinar um vetor diretor de que seja unitário.