( 0,5 pontos) Calcule a área do triângulo tau de vértices P, Q e R e determine o seu baricentro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular a área do triângulo tau que tem os vértices P, Q e R, e também para determinar o baricentro desse triângulo. Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar saber as coordenadas dos pontos P, Q e R no plano cartesiano.

Passo 2

Vamos supor que as coordenadas dos pontos sejam:
  • P(x1, y1)
  • Q(x2, y2)
  • R(x3, y3)
Essas coordenadas nos permitirão aplicar fórmulas para encontrar a área e o baricentro.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a área do triângulo. A fórmula para a área de um triângulo com vértices em coordenadas é:
Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | Á
Essa fórmula é derivada do determinante de uma matriz que representa os pontos do triângulo.

Passo 4

Agora, vamos determinar o baricentro do triângulo, que é o ponto de interseção das medianas. O baricentro é encontrado pela média das coordenadas dos vértices:
Baricentro G(x1 + x2 + x33, y1 + y2 + y33)
Isso significa que as coordenadas do baricentro são a média aritmética das coordenadas dos três vértices.

Resposta

A área do triângulo tau é dada por:
Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | Á
E o baricentro do triângulo tau está nas coordenadas:
G(x1 + x2 + x33, y1 + y2 + y33)

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